7  Control por retroalimentación de sistemas lineales

En este capítulo se va a estudiar la dinámica de procesos controlados por retroalimentación. Se consideran los dos problemas más comunes:

1. un cambio deseado de la consigna \(y_{sp}\), problema del servomecanismo

2. una perturbación o cambio en la carga \(d\), problema de la regulación

7.1 Acción de control proporcional

En este caso se considera que \(G_m = 1\), \(G_f = 1\), \(G_c = K_c\) y \(G_d = K_d\), de manera que la respuesta del lazo de control será:

\[y = \frac{K_c G_p}{1 + K_c G_p} y_{sp} + \frac{K_d}{1 + K_c G_p} d \tag{7.1}\]

7.1.1 Procesos de primer orden

Para un proceso de primer orden sin sistema de control (lazo abierto, open loop):

\[\tau_p \frac{\mathrm{d}y (t)}{\mathrm{d}t} + y (t) = K_p f (t) + K_d d (t)\]

con \(y (0) = f (0) = d (0) = 0\), ya que se trata de variables de desviación. Realizando la transformada de Laplace de la ecuación diferencial anterior y operando se encuentra:

\[y (s) = \frac{K_p}{\tau_p s + 1} f (s) + \frac{K_d}{\tau_p s + 1} d (s)\]

Es decir:

\[\begin{aligned} \text{Para un cambio en la consigna: } & G_p = \frac{K_p}{\tau_p s + 1} & \\ \text{Para un cambio en la carga: } & G_d = \frac{K_d}{\tau_p s + 1} & \end{aligned}\]

Sustituyendo en la Ecuación 7.1, salida de un bucle de retroalimentación (lazo cerrado, closed loop) y ordenando términos:

\[y = \frac{K_p'}{\tau'_p s + 1} y_{sp} + \frac{K_d'}{\tau'_p s + 1} d\]

donde \(\tau'_p = \frac{\tau_p}{1 + K_p K_c}\), \(K'_p = \frac{K_p K_c}{1 + K_p K_c}\) y \(K'_d = \frac{K_d}{1 + K_p K_c}\).

Se observa que:

1. El lazo de control es un sistema de primer orden, al igual que el proceso

2. La respuesta del lazo de control es más rápida que la del proceso (\(\tau'_p < \tau_p\))

3. El sistema formado por el proceso y el bucle de retroalimentación es menos sensible a los cambios que el sistema formado solamente por el proceso en sí ya que \(K'_p < K_p\) y \(K'_d < K_d\)

Si se considera un cambio en la consigna según un escalón unidad y no se produce perturbación alguna (\(d = 0\)), se puede apreciar mejor el efecto del controlador proporcional. En este caso se observa que la respuesta final obtenida por el lazo de control no es la exigida por la consigna. Esta discrepancia es el error permanente.

Figura 7.1: Respuestas de un lazo cerrado formado por un proceso de primer orden y un controlador P. Respuestas para un acambio en escalón unidad: a) en la consigna, b) en la carga.

Se define el error permanente (offset) como la diferencia entre el valor final de la consigna y el valor final de la respuesta:

\[\text{Error permanente} = \lim_{t \to \infty} (y_{sp}-y)\]

Aplicando el Teorema del valor final (Ecuación 3.7):

\[\text{Error permanente} = \lim_{s \to 0} (s y_{sp}- s y)\]

En este caso:

\[\text{Error permanente} = \lim_{s \to 0} \left( s \frac{1}{s} - s \frac{K'_p}{\tau'_p s + 1} \frac{1}{s} \right) = 1 - \frac{K_p K_c}{1 + K_p K_c} = \frac{1}{1 + K_p K_c}\]

Para el problema de la regulación (\(d = \frac{1}{s}\) y \(y_{sp} = 0\)):

\[\text{Error permanente} = - \frac{K_d}{1 + K_p K_c}\]

Se observa en los dos caso que para eliminar el error permanente (\(\text{error permanente} \to 0\)), la ganancia del controlador debe hacerse muy elevada (\(K_c \to \infty\)). Por razones de estabilidad, que se verán más adelante, no es conveniente utilizar valores elevados de \(K_c\) para eliminar el error permanente.

Si el proceso es un integrador puro \(\left( G_c = \frac{K_p}{s} \right)\), como por ejemplo la dinámica del nivel de un depósito, se comprueba que un sistema de control P es capaz de mantener el nivel de líquido en en el valor deseado dentro de un cierto margen. Si se calcula el error permanente de este tipo de sistemas (proceso más lazo de control) para una entrada en escalón, se obtiene el valor \(- \frac{1}{K_c}\). Este valor puede ser aceptable para valores suficientemente elevados de \(K_c\).

7.1.2 Procesos de 2º orden

Se considera un lazo de control como el del caso anterior pero en el que se ha sustituido el proceso por un sistema de segundo orden. Si se realiza un cambio en la consigna, la respuesta queda como:

\[y = \frac{K'_p}{\tau^{\prime 2} s^2 + 2 \zeta' \tau' s + 1} y_{sp}\]

donde \(\tau' = \frac{\tau}{\sqrt{1 + K_p K_c}}\), \(\zeta' = \frac{\zeta}{\sqrt{1 + K_p K_c}}\) y \(K_p = \frac{K_p K_c}{1 + K_p K_c}\).

Se cumple que:

1. El lazo de control continua siendo un sistema de segundo orden.

2. \(K'_p < K_p\), \(\tau' < \tau'\) y \(\zeta' < \zeta\).

3. Para una entrada en escalón unidad, \(\text{error permanente} = \frac{1}{1 + K_p K_c}\). De nuevo, el error permanente tiende a 0, cuando la ganancia proporcional del controlador tiende a infinito.

4. Dependiendo de \(\zeta\), \(\zeta'\) puede ser menor, mayor o igual a 1. Si la respuesta es sobreamortiguada, la velocidad de la respuesta es más lenta. Por tanto es preferible aumentar \(K_c\) para lograr una respuesta subamortiguada. De esta manera se logra una respuesta más rápida y con un error permanente menor. El problema es que al aumentar \(K_c\) aumenta el sobrepaso—lo que implica un aumento en la razón de disminución—y decrece el periodo de oscilación.

7.2 Acción de control integral

El efecto de la acción integral \(\left( G_c = K_c \frac{1}{\tau_I s} \right)\) sobre un lazo de control formado por un proceso de primer orden (el mismo caso que en el apartado anterior) para un cambio en la consigna será:

\[y (s) = \frac{G_c G_p}{1 + G_c G_p} = \frac{K_c \frac{1}{\tau_I s} \frac{K_p}{\tau_p s + 1}}{1 + K_c \frac{1}{\tau_I s} \frac{K_p}{\tau_p s + 1}} y_{sp} (s) = \frac{1}{\tau^2 s^2 + 2 \tau \zeta s + 1} y_{sp} (s)\]

siendo \(\tau = \sqrt{\frac{\tau_I \tau_p}{K_p K_c}}\) y \(\zeta = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\tau_I}{\tau_p K_p K_c}}\).

Se observa que el lazo de control formado por el proceso de primer orden y la acción integral es un sistema de segundo orden.

En este caso, para un cambio en escalón unidad:

\[\lim_{t \to \infty}y(t) = \lim_{s \to 0}s y(s) = \lim_{s \to 0}s y(s) s \frac{1}{\tau^2 s^2 + 2 \tau \zeta s + 1} \frac{1}{s} = 1\]

Por tanto, el error permanente será igual a 0. La acción de control integral elimina el error permanente.

Si se aumenta la ganancia del controlador \(K_c\) o se disminuye el tiempo integral \(\tau_I\), disminuye el coeficiente de amortiguamiento \(\zeta\). Con el objetivo de eliminar lo más rápidamente posible las perturbaciones o alcanzar el nuevo valor de la consigna, se prefiere trabajar normalmente con coeficientes de amortiguamiento menores que 1. Se logra aumentar la velocidad de la respuesta a expensas de tener desviaciones mayores a corto plazo, aparición de sobrepaso, y oscilaciones durante un tiempo mayor.

7.3 Acción de control derivativa

Considerando el mismo lazo de control que en los apartados anteriores con una acción de control derivativa (\(G_c = K_c \tau_D s\)), se obtiene:

\[y (s) = \frac{K_p K_c \tau_p s}{(\tau_p + K_p K_c \tau_D) s + 1} y_{sp} (s)\]

La acción de control derivativa no cambia el orden de la dinámica del sistema. La respuesta del sistema se hace más lenta ya que \(\tau_p + K_p K_c \tau_D > \tau_p\).

Para un proceso de segundo orden:

\[y (s) = \frac{K_p K_c \tau_D s}{\tau^2 s^2 + (2 \zeta \tau + K_p K_c \tau_D) s + 1} y_{sp}(s)\]

Tampoco cambia el orden de la dinámica del sistema. Además el lazo tiene una respuesta más amortiguada ya que \(2 \zeta \tau + K_p K_c \tau_D > 2 \zeta \tau\).

Al disminuir la velocidad de la respuesta y aumentar el amortiguamiento se dice que la acción de control derivativa produce un comportamiento más robusto del sistema controlado.

7.4 Acciones de control combinadas

7.4.1 Acción de control PI

1. Aumenta el orden de la respuesta (efecto de la acción I)

2. Se elimina el error permanente (acción I)

3. Al aumentar la ganancia del controlador, la respuesta se hace más rápida (acción P y I), más oscilatoria, aumenta el sobrepaso y la razón de disminución (acción I). Valores elevados de \(K_c\) pueden hacer al lazo de control inestable

4. Al disminuir el tiempo integral, para una ganancia del controlador constante, la respuesta se hace más rápida y más oscilatoria, con mayor sobrepaso y razón de disminución (acción I)

7.4.2 Acción de control PID

La acción derivativa mantiene los beneficios de la acción PI y logra eliminar parte de los defectos. En un controlador PI al aumentar \(K_c\), para lograr una respuesta más rápida, la respuesta se vuelve oscilatoria y puede llegar a ser inestable. La introducción de la acción derivativa tiene un efecto estabilizador. Al aumentar \(K_c\) se logra una respuesta más rápida manteniendo el sobrepaso prácticamente constante.

7.5 Influencia de los retrasos

Para todos los sistemas considerados en los apartados anteriores se ha supuesto que cualquier cambio en la entrada se reflejaba instantáneamente en la salida. Este hecho contradice la evidencia física, prácticamente todo proceso lleva un retraso entre la entrada y la salida. Normalmente este retraso es despreciable excepto en los casos siguientes que presentan retrasos elevados:

• Procesos en los que haya transporte de fluidos a largas distancias o que incluyan fenómenos con periodos largos de incubación

• Dispositivos de medida que requieran tiempos de muestreo o de análisis elevados. Por ejemplo, cromatografía de gases

• Elementos finales de control que necesiten un cierto tiempo para actuar

• Un controlador humano que necesita tiempo para pensar y tomar una decisión

Los bucles de control por retroalimentación que presentan alguno de estos elementos tienen los siguientes problemas:

• Una perturbación que entre en el proceso no será detectada hasta que haya pasado una cantidad de tiempo significativa

• La acción de control se realizará a partir de la última medida tomada que será inadecuada debido a que no representa correctamente lo que está ocurriendo en el proceso

• No se puede apreciar la acción de control sobre el sistema hasta un cierto tiempo después

• Como resultado de la combinación de los factores anteriores la presencia de tiempos muertos (retrasos) es una fuente de inestabilidad de los lazos de control

Los procesos con retraso son difíciles de controlar ya que la salida no contiene la información de lo que está ocurriendo en el proceso en este momento.

7.6 Introducción al diseño de sistemas de control por retroalimentación

Una vez decidido qué se va a controlar (variable controlada) y a través de qué (variable manipulable) es necesario llevara a cabo el diseño del controlador. Para ello hay que contestar fundamentalmente a las siguientes preguntas:

1. Qué criterio de rendimiento se debe tomar para llevar a cabo la selección y la sintonía del controlador?

   Existen multitud de criterios para la evaluación del controlador. Por ejemplo:

   • Mantener la máxima desviación lo menor posible

   • Lograr tiempos de ajuste cortos

   • Minimizar la integral de los errores hasta que el proceso alcanza el set point deseado

   • Criterio de la razón de disminución 1/4

2. Qué tipo de controlador se debe seleccionar para el proceso a controlar?

   De manera cualitativa se pueden considerar las siguientes conclusiones:

   1. Control proporcional

   1. Acelera la respuesta del proceso controlado

   2. Produce error permanente para todos los procesos excepto para aquellos con términos \(\frac{1}{s}\) en su función de transferencia

   2. Control integral

   1. Elimina el error permanente

   2. La eliminación del error permanente causa normalmente unas desviaciones máximas mayores

   3. Ralentiza el sistema o produce respuestas oscilantes

   4. Si se aumenta \(K_c\) para aumentar la velocidad de la respuesta, el sistema aumenta las oscilaciones y puede pasar a ser inestable

   3. Control derivativo

   1. Se anticipa a los errores futuros e introduce la acción de control adecuada

   2. Introduce un efecto estabilizador en la respuesta de ciclo cerrado de los procesos

   Como consecuencia se pueden aplicar los siguientes criterios:

   1. Si es posible, utilizar un controlador P. Por ejemplo, sistemas de control de presión de gases o nivel de líquidos

   2. Si el controlador P es inaceptable, utilizar un PI. Se utiliza casi siempre para el control de caudales

   3. Utilizar un PID para aumentar la velocidad de la respuesta de ciclo cerrado y mantener la estabilidad. P.ej., control de temperatura y concentraciones

3. Cómo se pueden seleccionar los mejores valores a los parámetros del controlador (sintonía del controlador)?

   Esta pregunta se contestará en los capítulos siguientes.

7.7 Problemas

Problema 7.1 ★

La localización de un cambio de carga en un lazo de control puede afectar a la respuesta del sistema. En el diagrama de bloques adjunto se produce un cambio en escalón unidad en la posición 1 ó 2.

1. ¿Cuál es la frecuencia del estado transitorio si la variación se produce en la posición 1? ¿Y si es en la 2?

2. ¿Cuánto valdrá el error permanente en cada caso? Suponer un escalón unidad.

Solución

1. Para poder encontrar la frecuencia del estado transitorio será necesario conocer el coeficiente de amortiguamiento de este lazo de control.

Entrada en \(U_1\)

Para poder encontrar \(\zeta\) es necesario calcular, en primer lugar, la función de transferencia que describe la dinámica del lazo de control para una entrada de perturbaciones en \(U_1\). La función de transferencia será:

\[\frac{C}{U_1} = \frac{\frac{2}{2 s + 1} \frac{1}{2 s + 1}}{1 + K_c \frac{2}{2 s + 1} \frac{1}{2 s + 1}}\]

En el numerador aparecen las funciones de transferencia existentes entre la entrada (\(U_1\)) y la salida (\(C\)). El denominador es 1 más el producto de las funciones de transferencia del lazo de control.

Operando se encuentra que:

\[\frac{C}{U_1} = \frac{\frac{2}{11}}{\frac{4}{11} s^2 + \frac{4}{11} s + 1}\]

Es importante resaltar que el término independiente del denominador debe ser 1.

Como era de esperar la función de transferencia es la de un sistema de segundo orden. Por tanto:

\[\left\{\begin{array}{l} \tau^2 = \frac{4}{11}\\ 2 \tau \zeta = \frac{4}{11} \end{array}\right.\]

Operando se encuentran las siguientes soluciones:

\[\left[ \left[ \tau = - \frac{2 \sqrt{11}}{11}, \zeta = - \frac{1}{\sqrt{11}} \right], \left[ \tau = \frac{2 \sqrt{11}}{11}, \zeta = \frac{1}{\sqrt{11}} \right] \right]\]

La constante de tiempo de un sistema y el coeficiente de amortiguamiento de un sistema deben ser siempre positivos. Por tanto el coeficiente de amortiguamiento toma el valor de \(\frac{1}{\sqrt[]{11}}\).

La frecuencia del estado transitorio es:

\[\nu = \frac{\sqrt[]{1 - \zeta^2}}{2 \pi \tau}\]

Sustituyendo se obtiene:

\[\nu = 0.252\]

Entrada en \(U_2\)

En este caso la función de transferencia es:

\[\frac{C}{U_2} = \frac{\frac{1}{2 s + 1}}{1 + K_c \frac{2}{2 s + 1} \frac{1}{2 s + 1}} = \frac{\frac{2}{11} s + \frac{1}{11}}{\frac{4}{11} s^2 + \frac{4}{11} s + 1}\]

El denominador obtenido es el mismo que en el caso anterior, lo que significa que el coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia serán iguales.

Se comprueba que lo que marca la respuesta de un lazo de control es el denominador de la función de transtferencia. El numerador influye principalmente en términos transitorios cuya influencia sobre la dinámica del sistema disminuye rápidamente.

2. En ambos casos el error permanente valdrá:

\[\text{Error permanente} = \lim_{t \to \infty} [R (t) - C (t)]\]

Realizando la transformada de Laplace y aplicando el teorema del valor final se obtiene:

\[\text{Error permanente} = \lim_{s \to 0} [s R (s) - s C (s)]\]

En este problema la consigna no cambia, lo que significa que \(R (s) = 0\).

Entrada en \(U_1\)

Se realiza un cambio en escalón unidad, la respuesta del lazo de control será:

\[C = \frac{\frac{2}{11}}{\frac{4}{11} s^2 + \frac{4}{11} s + 1} U_1 = \frac{\frac{2}{11}}{\frac{4}{11} s^2 + \frac{4}{11} s + 1} \frac{1}{s}\]

El error permanente será:

\[\text{Error permanente} = \lim_{s \to 0} \left[ 0 - s \frac{\frac{2}{11}}{\frac{4}{11} s^2 + \frac{4}{11} s + 1} \frac{1}{s} \right] = - \frac{2}{11}\]

Entrada en \(U_2\)

La respuesta del lazo de control en este caso es:

\[C = \frac{\frac{2}{11} s + \frac{1}{11}}{\frac{4}{11} s^2 + \frac{4}{11} s + 1} U_2 = \frac{\frac{2}{11} s + \frac{1}{11}}{\frac{4}{11} s^2 + \frac{4}{11} s + 1} \frac{1}{s}\]

El error permanente es:

\[\text{Error permanente} = \lim_{s \to 0} \left[ 0 - s \frac{\frac{2}{11} s + \frac{1}{11}}{\frac{4}{11} s^2 + \frac{4}{11} s + 1} \frac{1}{s} \right] = - \frac{1}{11}\]

Problema 7.2 ★

Para controlar un sistema de primer orden se utiliza un controlador PD con un elemento de medida cuya dinámica también es de primer orden.

1. Determinar las expresiones de la constante de tiempo y el coeficiente de amortiguamiento para el sistema de lazo cerrado

2. Si τ_p = 1 min y τ_m = 10 s, calcular Kc para que el coeficiente de amortiguamiento sea 0.7 en los siguientes supuestos: (1) τ_d = 0 y (2) τ_d = 3 s.

3. Comparar, para las dos situaciones del apartado b) el error permanente y el periodo, y comentar la ventaja que representa la adición de la acción derivativa

Solución

1. El lazo de control propuesto es:

donde:

\[\begin{aligned} G_c &= K_c (1 + \tau_D s)\\ G_p &= \frac{K_p}{\tau_p s + 1}\\ G_m &= \frac{K_m}{\tau_m s + 1} \end{aligned}\]

La función de transferencia que relaciona la respuesta dinámica del bucle de control con un cambio en la consigna es:

\[\frac{y}{y_{sp}} = \frac{G_c G_p}{1 + G_c G_p} = \frac{\frac{K_c K_p \tau_D \tau_m}{K_c K_m K_p + 1} s^2 + \frac{(\tau_m + \tau_D) K_c K_p \tau_D}{K_c K_m K_p + 1} s + \frac{K_c K_p}{K_c K_m K_p + 1}}{\frac{\tau_p \tau_m}{K_c K_m K_p + 1} s^2 + \frac{\tau_p + \tau_m + Kc Km Kp \tau_D}{K_c K_m K_p + 1} s + 1}\]

Al tratarse de una función de transferencia de segundo orden:

\[\begin{aligned} \tau^2 &= \frac{\tau_p \tau_m}{K_c K_m K_p + 1}\\ 2 \tau \zeta &= \frac{\tau_p + \tau_m + Kc Km Kp \tau_D }{K_c K_m K_p + 1} \end{aligned}\]

Despejando se encuentra:

\[\begin{aligned} \tau &= \sqrt{\frac{\tau_p \tau_m}{K_c K_m K_p + 1}}\\ \zeta &= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{K_c K_m K_p + 1}{\tau_p \tau_m}} \frac{\tau_p + \tau_m + K_c K_m K_p \tau_D }{K_c K_m K_p + 1} \end{aligned}\]

2. Si \(\tau_p = 1 \min = 60 s\) y \(\tau_m = 10 s\), qué valores debe tomar \(K_c\) para que \(\zeta = 0.7\)?

Caso \(\tau_D = 0\):

Sustituyendo en la expresión del coeficiente de amortiguamiento:

\[0.7 = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1 + K_c K_p K_m}{600}} \frac{70}{1 + K_c K_p K_m}\]

Por tanto: \[K_c = \frac{3.167}{K_p K_m}\]

Caso \(\tau_D = 3 s\):

En este caso al sustituir en la ecuación del coeficiente de amortiguamiento se obtiene:

\[0.7 = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1 + K_c K_p K_m}{600}} \frac{70 + 3 K_c K_p K_m}{1 + K_c K_p K_m}\]

Tomando \(K = K_c K_p K_m\) y operando se obtiene:

\[34.29 = \sqrt{1 + K} \frac{70 + 3 K}{1 + K}\]

Para resolver la ecuación hay que elevarla al cuadrado:

\[34.29^2 = (1 + K) \frac{(70 + 3 K)^2}{(1 + K)^2}\]

Operando se ecuentra:

\[9 K^2 - 756 K + 3724 = 0\]

Las soluciones de esta ecuación son:

\[K = \left\{\begin{array}{l} 78.745\\ 5.255 \end{array}\right.\]

Es decir:

\[K = \left\{\begin{array}{l} \frac{78.745}{K_p K_m}\\ \frac{5.255}{K_p K_m} \end{array}\right.\]

Se comprueba que la acción de control derivativa permite ganancias del controlador más elevadas para un mismo coeficiente de amortiguamiento. Eso supone que se pueden utilizar acciones de control proporcional más intensas sin aumentar las oscilaciones del conjunto controlador-proceso.

3. Suponiendo un cambio en la consigna \(y_{sp} (t)\) de tipo escalón unidad:

\[\text{Error permanente} = \lim_{s \to 0} \left( s y_{sp} (s) - s \frac{y (s)}{y_{sp} (s)} y_{sp} (s) \right) = 1 - \underset{s \rightarrow 0}{\lim} s \frac{y}{y_{sp}} \frac{1}{s} = 1 - \frac{K_c K_p}{K_c K_m K_p + 1}\]

El error permanente es independiente de la acción derivativa tomada.

El periodo, para un sistema de segundo orden, es:

\[T = \frac{2 \pi \tau}{\sqrt[]{1 - \zeta^2}}\]

Sustituyendo:

\[T = \frac{2 \pi \sqrt[]{\frac{600}{1 + K}}}{\sqrt[]{1 - \frac{1}{4} \frac{1 + K}{600} \left( \frac{70 + K \tau_D}{1 + K} \right)^2}}\]

Al aumentar la constante de tiempo derivativa, aumenta el periodo. Lo que significa que la respuesta es menos oscilatoria.

Problema 7.3 ★

Sea el sistema de lazo de control de la figura adjunta:

1. Dibujar el diagrama de bloques indicando la función de transferencia de cada subsitema. Suponer que el detector de nivel actua sin retraso alguno sobre el controlador

2. ¿Cuál es la función de transferencia para variaciones de carga (\(H/Q_1\))?

3. Discutir la influencia de los parámetros de proceso y de los del controlador sobre la dinámica del sistema.

Solución

1. En primer lugar se realizará el balance macroscópico de materia al sistema, suponiendo que la densidad es constante e independiente del tiempo:

\[A \frac{\mathrm{d}h (t)}{\mathrm{d}t} = q_1 (t) - q_2 (t)\]

donde \(A\) es el área del depósito. Acontinuación se encuentra el balance en estado estacionario:

\[0 = q_{1, e} - q_{2, e}\]

donde el subíndice \(e\) indica que se trata de los valores en estado estacionario. Es decir, los valores de las variables anteriores a cualquier cambio. Habitualmente se trata de los valores de diseño de las variables.

Restando los dos balances se obtiene:

\[A \frac{\mathrm{d}H (t)}{\mathrm{d}t} = Q_1 (t) - Q_2 (t)\]

donde se han tomado las siguientes variables de desviación:

\[\begin{aligned} H (t) &= h (t) - h_e \\ Q_1 (t) &= q_1 (t) - q_{1, e} (t) \\ Q_2 (t) &= q_2 (t) - q_{2, e} (t) \end{aligned}\]

A continuación se realiza la transformada de Laplace:

\[\begin{aligned} \mathcal{L} \left( A \frac{\mathrm{d}H (t)}{\mathrm{d}t} \right) &=\mathcal{L} (Q_1 (t) - Q_2 (t)) \\ As\bar{H} (s) &= \overline{Q_1} (s) - \overline{Q_2} (s) \end{aligned}\]

Por tanto:

\[\bar{H} = \overline{Q_1} \left( \frac{1}{As} \right) - \overline{Q_2} \left( \frac{1}{As} \right)\]

A partir del modelo matemático obtenido se puede dibujar el diagrama de bloques del proceso:

El diagrama de bloques del controlador es:

donde la función de transferencia del controlador es:

\[G_c (s) = K_c \left( 1 + \frac{1}{\tau_I s} \right)\]

Suponiendo que la función de transferencia del medidor de nivel y de la válvula sean iguales a la unidad, es decir, que su dinámica sea instantánea se obtiene el siguiente diagrama de bloques del conjunto controlador-proceso:

Es importante destacar el bloque -1 existente entre el comparador y el controlador. En el caso de que este bloque no se incluyese el sistema sería inestable (si se utiliza una válvula de acción directa), ya que el número de cambios de signo en el interior del bucle sería par.

2. La función de transferencia será:

\[\frac{\bar{H}}{\overline{Q_1}} = \frac{\frac{1}{As}}{1 + K_c \left( 1 + \frac{1}{\tau_I s} \right) \frac{1}{As}} = \frac{\frac{\tau_I}{K_c} s}{\frac{A \tau_I}{K_c} s^2 + \tau_I s + 1}\]

3. Al tratarse, la función de transferencia global, de un sistema de segundo orden, los parámetros que van a definir el comportamiento dinámico del lazo de control son la constante de tiempo y el coeficiente de amortiguamiento:

\[\begin{aligned} \tau &= \sqrt[]{\frac{A \tau_I}{K_c}}\\ \zeta &= \frac{1}{2} \sqrt[]{\frac{K_c \tau_I}{A}} \end{aligned}\]

Se pueden considerar tres casos:

• Aumenta la constante de tiempo integral: En este caso aumenta el coeficiente de amortiguamiento y la constante de tiempo, lo que hace que la respuesta sea más lenta y amortiguada

• Aumenta la ganancia proporcional del controlador: En ese caso disminuye la constante de tiempo y aumenta el coeficiente de amortiguamiento, la respuesta debería ser más rápida y amortiguada

• Aumenta el área del depósito: Aumenta la constante de tiempo, pero disminuye el coeficiente de amortiguamiento

Problema 7.4 ★

Sea el sencillo lazo de control de la figura:

donde \(G_p = \frac{k}{s(s+p)}\).

Determinar la ganancia k y el parámetro p para que la dinámica del sistema responda a las siguientes características:

1. Para un cambio en escalón, el sobrepaso debe ser inferior al 5 %.

2. El periodo de oscilación de 4 s.

Solución

La función de transferencia del lazo de control es:

\[G (s) = \frac{\bar{Y} (s)}{\bar{R} (s)} = \frac{G_p (s)}{1 + G_p (s)} = \frac{1}{\frac{1}{k} s^2 + \frac{p}{k} s + 1}\]

La función de transferencia de un sistema de segundo orden es:

\[G (s) = \frac{K_p}{\tau_p^2 s^2 + 2 \tau_p \zeta s + 1}\]

Por tanto:

\[\begin{aligned} \tau_p^2 &= \frac{1}{k}\\ 2 \tau_p \zeta &= \frac{p}{k} \end{aligned}\]

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:

\[\begin{aligned} \tau_p &= \sqrt{\frac{1}{k}} \\ \zeta &= \frac{p}{2 \sqrt[]{k}} \end{aligned}\]

El sobrepaso de este sistema de ser inferior al 5%, en consecuencia, el caso límite es que el sobrepaso tome el valor de 0.05:

\[0.05 = \exp \left( - \frac{\pi \zeta}{\sqrt{1 - \zeta^2}} \right)\]

Resolviendo la ecuación se encuentra que el coeficiente de amortiguamiento es \(\zeta = 0.6901\).

El periodo del lazo de control debe ser de 4 s, lo que implica que:

\[T = 4 \text{s} = \frac{2 \pi \tau_p}{\sqrt{1 - \zeta^2}}\]

Sustituyendo el coeficiente de amortiguamiento se encuentra que la constante de tiempo es \(\tau_p = 0.4607\).

Una vez conocidos el coeficiente de amortiguamiento y la constante de tiempo encontrar los parámetros del proceso es trivial:

\[\begin{aligned} k &= 4.71 \\ p &= 3.00 \end{aligned}\]

Problema 7.5 ★

Los marcapasos electrónicos actúan sobre el corazón de manera que este responda adecuadamente al ritmo cardiaco deseado. La situación dinámica se puede representar por el bucle de control retroalimentado de la figura adjunta:

Se ha establecido que la función de transferencia del marcapasos es \(\frac{K}{0.1 s+1}\) y la del corazon es \(\frac{1}{s}\). El ritmo cardiaco normal es de 70 pulsaciones/min.

Determinar:

1. Si \(K = 10\), ¿cuánto vale la constante de tiempo de todo el sistema? ¿Qué sentido físico tiene dicha constante?

2. Si se produjera una perturbación sostenida de 10 pulsaciones en exceso, ¿qué ritmo cardiaco estacionario se alcanzaría?

3. Suponer que el individuo puede tolerar durante períodos de tiempo no excesivos un ritmo cardiaco de 110 pulsaciones/min, siempre que en ningún caso se llegue a 130, aunque sea puntualmente. ¿Qué valor ha de tener \(K\) para que un paso súbito de 70 a 110 pulsaciones/min en la consigna sea tolerable para el individuo?

Solución

1. El lazo de control propuesto se puede representar como:

donde:

\[\begin{aligned} G_c &= \frac{K}{0.1 s + 1}\\ G_p &= \frac{1}{s} \end{aligned}\]

Para poder tomar variables de desviación se tomará como valor estacionario de la consigna:

\[y_{sp, e} = 70 \text{ pulsaciones/min}\]

La función de transferencia que relaciona los cambios de la consigna con la salida será:

\[G = \frac{y}{y_{sp}} = \frac{G_c G_p}{1 + G_c G_p} = \frac{K}{0.1 s^2 + s + K} = \frac{1}{\frac{0.1}{K} s^2 + \frac{1}{K} s + 1}\]

Si \(K = 10\), la constante de tiempo será (al tratarse de un sistema de segundo orden):

\[\tau = \sqrt{\frac{0.1}{10}} = 0.1 \min\]

La constante de tiempo mide la inercia del sistema marcapasos-corazón frente a cambios en la consigna o perturbaciones.

2. En este caso, se realiza un cambio en las perturbaciones es forma de escalón de altura 10 pulsaciones/min:

Al tratarse de un escalón, la transformada de Laplace, tomando variables de desviación, de las perturbaciones será:

\[d (s) = \frac{10}{s}\]

Al buscarse el efecto estacionario de un cambio en las perturbaciones sobre la salida del lazo de control (ritmo cardiaco) es necesario conocer la función de transferencia que relaciona \(y (s)\) con \(d (s)\):

\[\frac{y (s)}{d (s)} = \frac{G_p}{1 + G_c G_p} = \frac{\frac{0.1 s +1}{K}}{\frac{0.1}{K} s^2 + \frac{1}{K} s + 1}\]

Calcular la respuesta estacionaria es equivalente a pedir calcular el error permanente, sabiendo que \(K = 10\) y que no se produce ningún cambio en la consigna:

\[\mathrm{offset} = \lim_{t \to \infty} y_{sp} (t) - \lim_{t \to \infty} y (t) = 0 - \lim_{s \to 0} s \frac{y (s)}{d (s)} d (s) = - \lim_{s \to 0} s \frac{\frac{0.1 s + 1}{10}}{\frac{0.1}{10} s^2 + \frac{1}{10} s + 1} \frac{10}{s} = - 1\]

Es importante resaltar que el signo negativo del error permanente indica que el valor estacionario de la salida está por encima de la consigna.

El ritmo cardiaco estacionario alcanzado será de 71 pulsaciones/min, al deshacer las variables de desviación.

c) Se desea conocer \(K\) para que en caso de que el corazón pueda sufrir una aumento de ritmo cardiaco (por ejemplo, al verse sometido a un esfuerzo, es decir, a una perturbación) sin que se supere un cierto límite.

El sistema marcapasos-corazón forma un sistema de segundo orden, lo que significa que cuando se realiza un cambio, ya sea en al consigna o en las perturbaciones, puede dar respuestas oscilatorias subamortiguadas. De manera cualitativa, el caso límite sería:

El valor inicial del ritmo cardiaco es de 70 pulsaciones/min, el valor estacionario es de 110 pulsaciones/min y el valor máximo es de 130 pulsaciones/min. A partir de estos datos se puede calcular el sobrepaso utilizando su definición:

\[\mathrm{Sobrepaso} = \frac{A}{B} = \frac{130 - 110}{110 - 70} = 0.5\]

Al tratarse de una función de transferencia de segundo orden:

\[\mathrm{Sobrepaso} = \exp \left( - \frac{\pi \zeta}{\sqrt{1 - \zeta^2}} \right) = 0.5\]

Resolviendo la ecuación se encuentra que el coeficiente de amortiguamiento es:

\[\zeta = 0.2155\]

Del apartado anterior se sabe que:

\[\begin{aligned} \tau &= \sqrt{\frac{0.1}{K}} \\ 2 \tau \zeta &= \frac{1}{K} \end{aligned}\]

Resolviendo el sistema de ecuaciones se encuentra:

\[K = 53.8\]

Por tanto, K debe ser menor de 53.8 para que en ningún caso se alcance 130 pulsaciones/min.

Problema 7.6 ★

Uno de los problemas más importantes con el que se enfrentan los ingenieros es el empleo óptimo de las fuentes de energía. Muchos ingenieros trabajan hoy en día en sistemas de energía solar para calefacción doméstica. Uno de esos sistemas emplea colectores solares y almacenamiento térmico, tal como se indica en el diagrama superior de la figura adjunta. El diagrama de bloques del sistema de control se presenta en la parte inferior de la figura:

La dinámica de los colectores, el almacenamiento térmico y la propia casa viene dada por \(G(s) = \frac{k_1}{s^2}\). La dinámica de los instrumentos de medida viene determinada por \(H(s) = \frac{k_2}{\tau_1s + 1}\) . Suponer que \(\tau_1 = 1 \mathrm{ s}\) y \(\tau_2 = 0\) (aproximación).

1. ¿Para qué valores de \(k = k_1 k_2\) el sistema será subamortiguado y para cuáles sobreamortiguado?

2. ¿Para qué valores de \(k\) la temperatura de la casa, al variar la consigna, no discrepará en ningún momento más de un 5 % del nuevo valor estacionario a alcanzar?

3. Suponer que la temperatura de la casa está estabilizada en 22 ℃. Si la consigna se cambia de pronto a 24 ℃, siendo \(k_2 = 1.1\), ¿qué temperatura se alcanzará en la casa?

Solución

1. La función de transferencia entre la temperatura de la casa (salida del lazo de retroalimentación) y la temperatura deseada (entrada a la lazo) es:

\[\frac{Y (s)}{R (s)} = \frac{G (s)}{1 + G (s) H (s)} = \frac{\frac{k_1}{s^2}}{1 + \frac{k_1}{s^2} k_2 (s + 1)} = \frac{\frac{1}{k_2}}{\frac{1}{k} s^2 + s + 1}\]

donde \(k = k_1 k_2\).

Al tratarse de un sistema de segundo orden:

\[\begin{aligned} \tau &= \sqrt{\frac{1}{k}} \\ 2 \tau \zeta &= 1 \end{aligned}\]

donde \(\tau\) es la constante de tiempo del lazo de control y \(\zeta\) es el coeficiente de amortiguamiento. Despejando se encuentra:

\[k = (2 \zeta)^2\]

Por tanto,

\[\begin{aligned} & \zeta > 1 \rightarrow k > 4 & \text{Sobreamortiguado}\\ & \zeta = 1 \rightarrow k = 4 & \text{Criticamente amortiguado}\\ & \zeta < 1 \rightarrow k < 4 & \text{Subamortiguado} \end{aligned}\]

2. Un cambio de un 5% del nuevo valor estacionario, tras un cambio en la consigna, es equivalente a un sobrepaso de 0.05. Por tanto,

\[\mathrm{Sobrepaso} = 0.05 = \exp \left( - \frac{\pi \zeta}{\sqrt{1 - \zeta^2}} \right)\]

Al resolver la ecuación se encuentra que:

\[\zeta = 0.6901\]

Como se dice que el cambio no debe superar el 5% del valor estacionario:

\[k \geqslant 1.905\]

3. El cambio propuesto en la consigna es una función en escalón de altura 2 °C \(\left( R (s) = \frac{2}{s} \right)\). El valor que alcanzará la casa es:

\[\lim_{t \to \infty} Y (t) = \underset{s \rightarrow 0}{\lim} s Y (s) = \lim_{s \to 0} s \frac{Y (s)}{R (s)} G(s) = \lim_{s \to 0} s \frac{\frac{1}{k_2}}{\frac{1}{k} s^2 + s + 1} \frac{2}{s} = 1.818\]

El valor anterior no es la temperatura estacionaria que alcanzará la casa que ya la variable \(Y (t)\) está definida con variables de desviación. Para obtener la temperatura deseada hay que tener en cuenta que la temperatura en estado estacionario es de 22 °C, lo que significa que:

\[T_{\text{final}} = 22 + 1.818 = 23.8 \text{ ºC}\]

Problema 7.7 ★

Sea el sistema cuyo diagrama de bloques se presenta en la figura adjunta:

donde \(G(s) = \frac{K}{s(s+1)}\) y \(H(s)=1+K_ms\).

Determinar los valores de ganancia \(K\) y de la constante \(K_m\) para que la respuesta a un escalón unidad tenga un sobrepaso de 0.2 al cabo de 1 s.

Solución

La función de transferencia que describe la dinámica de este sistema es:

\[\frac{Y (s)}{R (s)} = \frac{G (s)}{1 + G (s) H (s)} = \frac{\frac{K}{s (s + 1)}}{1 + \frac{K}{s (s + 1)} (1 + K_m s)} = \frac{1}{\frac{1}{K} s^2 + \frac{1 + K K_m}{K} s + 1}\]

El sobrepaso de este sistema debe valer 0.2, por lo tanto:

\[\mathrm{Sobrepaso} = 0.2 = \exp \left( \frac{- \pi \zeta}{\sqrt{1 - \zeta^2}} \right) = \frac{A}{B}\]

Resolviendo la ecuación se encuentra que el coeficiente de amortiguamiento es:

\[\zeta = 0.4559\]

El valor máximo de un sistema de segundo orden subamortiguado para una entrada en escalón unidad \(\left( R (s) = \frac{1}{s} \right)\) es:

\[Y_{\max} = A + B\]

donde \(B\) es el valor estacionario de la respuesta. En este caso:

\[B = \lim_{t \to \infty} Y (t) = \lim_{s \to 0} s \frac{Y (s)}{R (s)} \frac{1}{s} = 1\]

Por tanto, \(A = 0.2\) y \(Y_{\max} = 1.2\).

La respuesta de un sistema de segundo orden subamortiguado para una entrada en escalón es:

\[\frac{y (t)}{k M} = 1 - \frac{1}{\sqrt{1 - \zeta^2}} e^{- \frac{\zeta t}{\tau}} \sin \left( \sqrt{1 - \zeta^2} \frac{t}{\tau} - \mathrm{atan} \frac{\sqrt{1 - \zeta^2}}{\zeta} \right)\]

donde \(k\) es la ganancia global del proceso, es este caso 1. \(M\) es la altura del escalón (\(M = 1\)). La respuesta máxima se tiene que producir cuando \(t = 1\) s. Sustituyendo:

\[Y_{\max} (t = 1 s) = 1.2 = 1 - \frac{1}{0.89} e^{- \frac{0.4559}{\tau}} \sin \left( \frac{0.89}{\tau} + 1.0974 \right)\]

Resolviendo la ecuación se obtiene:

\[\tau = 0.285\]

A partir de la función de transferencia del sistema (de segundo orden) se encuentra:

\[\begin{aligned} \tau &= \sqrt{\frac{1}{K}}\\ 2 \zeta \tau &= \frac{1 + K K_m}{K} \end{aligned}\]

Sustituyendo y operando se encuentra:

\[\begin{aligned} K &= 12.31 \\ K_m &= 0.179 \end{aligned}\]

Problema 7.8 ★

En muchas ciudades se han realizado esfuerzos significativos para reciclar los envases de vidrio. En la figura siguiente se representa un diagrama de bloques simplificado del proceso de reciclado de una ciudad:

El énfasis de la campaña de recolección viene dado por la ganancia \(K\). La perturbación \(U\) representa los envases que se rompen o se tiran a la basura o a otro lugar no controlado. Suponer τ₁ = 1 mes y τ₂ = ½ mes. Determinar:

1. La ganancia \(K\) para que es sistema esté críticamente amortiguado.

2. El error permanente para una entrada en escalón unidad en la consigna, suponiendo \(U(s)=0\). ¿Cuánto sería ese error permanente para la ganancia del apartado a)?

3. El error permanente para una pérdida de envases \(M\) en escalón, suponiendo que no varía la consigna. ¿Este error permanente será positivo o negativo?

Solución

1. La función de transferencia \(\frac{C (s)}{R (s)}\) es la siguiente:

\[\frac{C (s)}{R (s)} = \frac{\frac{K}{s + 1}}{1 + \frac{K}{s + 1} \frac{1}{0.5 s + 1}} = \frac{\frac{K (0.5 s + 1)}{1 + K}}{\frac{0.5}{1 + K} s^2 + \frac{1.5}{1 + K} s + 1}\]

La constante de tiempo de esta función de transferencia es:

\[\tau = \sqrt[]{\frac{0.5}{1 + K}}\]

Y el coeficiente de amortiguamiento:

\[\zeta = \frac{\frac{1.5}{\sqrt{2}}}{\sqrt{1 + K}}\]

Un sistema está críticamente amortiguado cuando su coeficiente de amortiguamiento es la unidad. Por tanto, de la expresión anterior se obtiene:

\[K = 0.125\]

2. El error permanente será:

\[\text{Error permanente} = \lim_{t \to \infty} [R (t) - C (t)] = \lim_{s \to 0} s [R (t) - C (t)] = \lim_{s \to 0} \left[ s \frac{1}{s} - s \frac{C (s)}{R (s)} \frac{1}{s} \right] = \frac{1}{1 + K}\]

Para \(K = 0.125\):

\[\text{Error permanente} = 0.889\]

3. La función de transferencia \(\frac{C (s)}{U (s)}\) es:

\[\frac{C (s)}{U (s)} = \frac{1}{1 + \frac{K}{s + 1} \frac{1}{0.5 s + 1}} = \frac{\frac{0.5 s^2 + 1.5 s + 1}{1 + K}}{\frac{0.5}{1 + K} s^2 + \frac{1.5}{1 + K} s + 1}\]

El error permanente es en este caso:

\[\text{Error permanente} = \lim_{t \to \infty} [R (t) - C (t)] = \lim_{s \to 0} s [R (t) - C (t)] = \lim_{s \to 0} \left[ s 0 - s \frac{C (s)}{U (s)} \frac{M}{s} \right] = - \frac{M}{1 + K}\]

Como M es un valor negativo (pérdida de envases), el error permanente es positivo, es decir, \(R (t) > C (t)\).

Problema 7.9 ★

El comportamiento dinámico de una compleja organización empresarial se puede considerar un sistema de control por retroalimentación. Un modelo sencillo de un sistema de gestión se presenta en la figura adjunta. La función de transferencia correspondiente a la actividad de gestión de la empresa es \(G_c(s) = \frac{k_1}{s}\). La función de transferencia correspondiente a las actividades de ingeniería y producción es \(G_p(s) = \frac{k_2}{\tau_p s+1}\). La función de transferencia de la actividad de evaluación de los resultados, \(C(s)\), de la empresa es \(H(s) = k_4 + k_5 s\). El resultado de la evaluación, \(B(s)\), se compara con los objetivos propuestos, \(R(s)\), y la diferencia constituye la entrada al bloque de gestión, \(G_c\), que dará lugar a la pertinente acción correctora. \(D(s)\) representa las perturbaciones que actúan sobre el sistema.

1. ¿Cuál es la función (en el espacio \(s\)) que relaciona la salida \(C(s)\) con la consigna \(R(s)\) y la carga \(D(s)\)?

2. Calcular el error permanente si se produce en la consigna una variación de una unidad en forma de escalón.

3. Calcular el sobrepaso de la respuesta en tiempo real a la variación anterior.

4. ¿Qué sencilla modificación realizaría para mejorar la dinámica de este sistema de control?

Datos:

• \(k_1 k_2 = 0.1\)
• \(\tau_p = 10\ \mathrm{meses}\)
• \(k_4 = 5\)
• \(k_5 = 7.6\)

Solución

1. La respuesta del lazo de control es:

\[C (s) = \frac{G_p}{1 + G_c G_p H} D (s) + \frac{G_c G_p}{1 + G_c G_p H} R (s)\]

2. En este apartado hay que considerar que se produce un cambio en escalón unidad para la consigna (\(R (s) = U (s)\)=\(\frac{1}{s}\)). En primer lugar hay que encontrar la función de transferencia que relaciona la salida del lazo de control con la consigna:

\[\frac{C}{R} = \frac{G_c G_p}{1 + G_c G_p H} = \frac{\frac{k_1}{s} \frac{k_2}{\tau_p s + 1}}{1 + \frac{k_1 k_2 (k_4 + k_5 s)}{s (\tau_p s + 1)}} = \frac{0.2}{20 s^2 + 3.52 s + 1}\]

El error permanente será:

\[\begin{split} \text{Error permanente} = \lim_{t \to \infty} (R (t) - C (t)) = \lim_{s \to 0} \left( s R (s) - s \frac{C (s)}{R (s)} R (s) \right) =\\ 1 - \lim_{s \to 0} s \frac{0.2}{20 s^2 + 3.52 s + 1} \frac{1}{s} = 0.8 \end{split}\]

3. Para poder calcular el sobrepaso es necesario conocer en primer lugar el coeficiente de amortiguamiento del bucle de control. A partir de la ec. (1) se encuentra que:

\[\left\{\begin{array}{l} \tau^2 = 20\\ 2 \tau \zeta = 3.52 \end{array}\right.\]

Resolviendo el sistema de ecuaciones se encuentra que la constante de tiempo es \(\tau = 4.4721\) y la constante de amortiguamiento \(\zeta = 0.3935\). El sobrepaso es:

\[\mathrm{Sobrepaso} = \exp \left( - \frac{\pi \zeta}{\sqrt{1 - \zeta^2}} \right) = 0.2606\]

4. El valor máximo de respuesta del lazo de control para un cambio en la consigna en escalón unidad (tal como se dice en el apartado anterior) es:

\[C_{\max} = A + B\]

Tal como se muestra en la figura siguiente:

using SymPy, Plots, Roots

@syms s, t::real

# Cambio en la consigna en forma de escalón unidad
ysp = 1/s

# Función de transferencia del lazo de control
G = 2//10/(20s^2 +352//100*s+1)

# Respuesta del lazo de control
y_s = G*ysp

y_t = sympy.inverse_laplace_transform(y_s, s, t)

# Para calcular la posición del máximo, se debe cumplir que dy/dt = 0
# Para calcular la derivada y' usaremos la propuedad de la transformada
# de Laplace de la derivada.
# Calcular la derivada de y_t directamente es demasiado complejo, esto es
# mucho más eficaz

dy_s = s*G*ysp
dy_t = sympy.inverse_laplace_transform(dy_s, s, t)

# Valor de y(t -> oo)
B = sympy.limit(s*y_s, s, 0)

# Resolvemos la ecuación numéricamente para encontrar la posición del máximo
# y su valor
tmax = fzero(dy_t, [0.1, 20])
ymax = y_t(tmax)


plot(y_t, -1, 50, xlabel="t", ylabel="C(t)", lw=2, legend=false)
plot!(B*Heaviside(t))
plot!([tmax, tmax], [B, ymax], marker=:circle, msw=0, annotations=(17, 0.225, text("A")))
plot!([tmax, tmax], [0, B], marker=:circle, msw=0, annotations=(17, 0.1, text("B")))

# NOTA: El problema 7.10 utiliza un método numérico para calcular la derivada,
# lo que puede ser útil para situaciones en las que no se puede encontrar una solución
# analítica para la derivada

B es el valor estacionario de la respuesta del bucle de control:

\[B = \lim_{t \to \infty} C (t) = \lim_{s \to 0} s \frac{C (s)}{R (s)} \frac{1}{s} = 0.2\]

El valor de \(A\) se puede calcular a partir del sobrepaso:

\[\mathrm{Sobrepaso} = \frac{A}{B}\]

Por tanto:

\[C_{\max} = B (\mathrm{sobrepaso} + 1) = 0.2521\]

La respuesta de un sistema de segundo orden subamortiguado (\(\zeta < 1\)) para una entrada en escalón unidad es:

\[y (t) = K_p \left\{ 1 - \frac{1}{\sqrt{1 - \zeta^2}} e^{- \frac{\zeta t}{\tau}} \sin \left[ \frac{\sqrt{1 - \zeta^2}}{\tau} t + \mathrm{atan} \left( \frac{\sqrt{1 - \zeta^2}}{\zeta} \right) \right] \right\}\]

Para encontrar el tiempo (\(t_{\max}\)) en el que se produce la respuesta máxima (\(C_{\max}\)) hay que sustituir \(K_p = 0.2\), \(\tau = 4.4721\) y \(\zeta = 0.3935\) y resolver la siguiente ecuación:

\[0.2521 = 0.2 [1 - 1.0878 \mathrm{e}^{- 0.088 t_{\max}} \sin(0.2056 t_{\max} + 1.1664)]\]

Se obtiene:

\[t_{\max} = 15.20\ \mathrm{meses}\]

5. La manera más sencilla de mejorar la dinámica de este lazo de control, lo que implica el tener una respuesta más rápida por parte del bucle, es disminuir la constante de tiempo \(\tau_p\) de la función de transferencia correspondiente a las actividades de ingeniería y producción. El resultado sería que el sistema se adaptaría más rápidamente a los cambios de consigna y eliminaría con mayor rapidez aquellas perturbaciones que se pudieran producir.

Problema 7.10 ★

Considerar una lazo cerrado con las funciones de transferencia siguientes:

\[\begin{aligned} G_c &= 5 \\ G_f &= 1 \\ G_p &= \frac{2}{(s+1)(3s+1)} \\ G_d &= \frac{1}{(s+1)(3s+1)} \\ G_m &= 1 \end{aligned}\]

Para un cambio en el set point de magnitud 2, contestar a las siguientes preguntas:

1. Derivar una expresión en el dominio de Laplace para la respuesta de lazo cerrado.

2. Obtener la respuesta del lazo cerrado en tiempo real.

3. Calcular el valor máximo de \(y(t)\) y establecer cuando ocurre.

4. Calcular el error permanente.

5. Calcular el periodo de oscilación de la respuesta de lazo cerrado.

6. Dibujar cualitativamente la respuesta en tiempo real.

Solución

1. En este problema se propone el siguiente lazo de control:

La respuesta de este sistema en el dominio de Laplace para un cambio en la consigna es:

\[y = \frac{G_c G_f G_p}{1 + G_c G_f G_p} y_{sp}\]

Sustituyendo se encuentra:

\[y = \frac{\frac{10}{11}}{\frac{3}{11} s^2 + \frac{4}{11} s + 1} \frac{2}{s}\]

2. A partir del conocimiento de las ecuaciones de la respuesta de un proceso de segundo orden para una entrada en escalón se puede obtener la respuesta en tiempo real fácilmente. En función del coeficiente de amortiguamiento se elije una de las ecuaciones. Se puede calcular el coeficiente de amortiguamiento sabiendo:

\[\left\{\begin{array}{l} \tau^2 = \frac{3}{11}\\ 2 \tau \zeta = \frac{4}{11} \end{array}\right.\]

Resolviendo la ecuación anterior se encuentra:

\[\left\{\begin{array}{l} \tau = 0.5222\\ \zeta = 0.3482 \end{array}\right.\]

El coeficiente de amortiguamiento es menor que la unidad, lo que significa que se trata de un sistema subamortiguado. La respuesta será:

\[y (t) = K_p M \left[ 1 - \frac{1}{\sqrt[]{1 - \zeta^2}} e^{- \zeta \frac{t}{\tau}} \sin \left( \frac{1}{\sqrt[]{1 - \zeta^2}} \frac{t}{\tau} + \mathrm{atan} \frac{\sqrt[]{1 - \zeta^2}}{\zeta} \right) \right]\]

donde:

• \(K_p\) es la ganancia del proceso. En este caso \(K_p = \frac{10}{11}\).

• M es la altura del escalón (\(M = 2\)).

Por tanto la respuesta en tiempo real es:

\[y (t) = 1.818 [1 - 1.067 \mathrm{e}^{- 0.6667 t} \sin (2.043 t + 1.215)]\]

3. Si se representa la función anterior se obtiene:

using Plots, SymPy, Roots, ForwardDiff

@syms t, s

# Definimos las funciones de transferencia
Gc = 5
Gf= 1
Gp = 2/((s+1)*(3s+1))
Gm = 1

# Función de transferencia del lazo de control
G = Gc*Gf*Gp/(1+Gc*Gf*Gp*Gm)

# Cambio en la consigna
Csp = 2/s

# Cálculo de y(s)
C_s = G*Csp

# Cálculo de y(t)
C = sympy.inverse_laplace_transform(C_s, s, t)

# Transformamos C(t) para que se pueda realizar la diferenciación
# automática con ForwardDiff
C_t(t) = real(lambdify(C)(t))

# Valor de C(t) cuando t tiende a infinito
B = sympy.limit(s*C_s, s, 0)

# Valor máximo de C(t), buscamos el máximo
tmax = fzero(x->ForwardDiff.derivative(C_t, x), 1)
Cmax = C_t(tmax)

plot(C, -1, 10, xlabel="t", ylabel="C(t)", legend=false, lw=2)
plot!(B*Heaviside(t), lw=2)
plot!([tmax, tmax], [B, Cmax], marker=:circle, msw=0,
    annotations=(2.1, 2, text("A")))
plot!([tmax, tmax], [0, B], marker=:circle, msw=0,
    annotations=(2.1, 0.9, text("B")))

# NOTA: El problema 7.9 resuelve un problema similar pero sin utilizar
# un método numérico para calcular la derivada.

En la gráfica se puede observar claramente que el valor máximo de la respuesta tiene el valor de \(A + B\). El valor de \(B\) es el valor estacionario que alcanza el lazo de control, es decir:

\[B = \lim_{t \to \infty} y (t) = \lim_{s \to 0} s y (s)\]

Para poder calcular el valor de \(A\) solo hay que recordar la definición de sobrepaso:

\[\mathrm{Sobrepaso} = \frac{A}{B}\]

Por tanto el valor máximo de \(y (t)\) es:

\[y_{\max} = A + B = (\mathrm{sobrepaso} + 1) B\]

El sobrepaso es:

\[\mathrm{Sobrepaso} = \exp \left( \frac{- \pi \zeta}{\sqrt[]{1 - \zeta^2}} \right) = 0.3113\]

El valor de B es:

\[B = \lim_{s \to 0} s \frac{\frac{10}{11}}{\frac{3}{11} s^2 + \frac{4}{11} s + 1} \frac{2}{s} = \frac{20}{11}\]

Por tanto el valor máximo de la respuesta es:

\[y_{\max} = (0.3113 + 1) \frac{10}{11} = 2.384\]

Para encontrar en que instante se produce este valor máximo de respuesta hay que resolver la siguiente ecuación:

\[y_{\max} = 2.384 = 1.818 [1 - 1.067 \mathrm{e}^{- 0.6667 t_{\max}} \sin (2.043 t_{\max} + 1.215)]\]

El resultado es:

\[t_{\max} = 1.75\]

La estrategia para encontrar la posición del máximo utilizada para dibujar la gráfica anterior es diferente. En este caso se ha buscado el primer punto para el que la derivada de la respuesta es cero. No ha sido necesario calcular el sobrepaso.

4. El periodo de oscilación es:

\[T = \frac{2 \pi \tau}{\sqrt[]{1 - \zeta^2}}\]

Sustituyendo se obtiene:

\[T = 3.50\]

5. La respuesta en tiempo real está dibujada más arriba.

Problema 7.11

Repetir el problema anterior para un cambio en las perturbaciones de magnitud 1.5.

Problema 7.12

  Sea un lazo de control por retroalimentación de un proceso de primer orden de ganancia 5 y constante de tiempo 2. Se selecciona un controlador proporcional de ganancia unidad. La función de transferencia del medidor es de primer orden con ganancia \(K_m\) y constante de tiempo \(\tau_m\). Asumiendo que la función de transferencia del elemento final de control es igual a la unidad:

1. Examinar el efecto de \(K_m\) sobre la respuesta de lazo cerrado (p.ej., para \(\tau_m = 1\) evaluar la constante de tiempo y coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de lazo cerrado para varios valores de \(K_m\)).

2. Evaluar el efecto de \(\tau_m\) sobre la respuesta de lazo cerrado.

3. Dibujar cualitativamente las respuestas de lazo cerrado en función de varios valores de \(K_m\) y \(\tau_m\). Discutir el efecto del medidor en la respuesta de lazo cerrado en función de estas gráficas (p.ej., discutir el efecto sobre el sobrepaso, la razón de disminución y el periodo de oscilación).

Problema 7.13

Considerar un sencillo sistema de control de nivel de un tanque de almacenamiento. Se puede tomar como variable manipulable tanto el caudal de la entrada \(F_i\) como el caudal de salida \(F_o\). Inicialmente el sistema se encuentra en estado estacionario con \(F_i = F_o = 3 \text{ m}^3 / \mathrm{min}\) y un nivel de líquido de 60 cm. El área de la sección del depósito es de \(2 \text{ m}^2\). Responder:

1. Encontrar la respuesta de lazo cerrado a un incremento en escalón unidad en el punto de consigna cuando se utiliza \(F_i\) como variable manipulable.

2. Repetir a) pero utilizando \(F_o\) como variable manipulable.

3. Dibujar las dos respuestas y explicar las diferencias, si las hay, entre tomar \(F_i\) y \(F_o\) como variables manipulables.

Tomar un controlador proporcional de ganancia 10 y que las funciones de transferencia de la válvula y del medidor son iguales a la unidad.

Problema 7.14

  Repetir el problema anterior con las siguientes modificaciones:

1. La función de transferencia de la válvula de entrada es \(G_{f, i} (s) = 1\) y la de la válvula de salida es \(G_{f, 0} (s) = \frac{10}{3 s + 1}\).

2. La ganancia proporcional es igual a 10.