6 Acciones de control
6.1 Descripción de un bucle de control
Un bucle de control por retroalimentación se compone de un proceso, el sistema de medición de la variable controlada, el sistema de control y el elemento final de control. Cada uno de estos elementos tiene su propia dinámica, que vendrá descrita por una función de transferencia.
En este capítulo se explicará como se puede encontrar la función de transferencia de todo un lazo de control a partir de las funciones de transferencia de cada uno de los elementos del lazo. El medidor, el proceso y el elemento final de control serán habitualmente sistemas lineales de primer o de segundo orden, como los descritos en los dos capítulos anteriores. Las funciones de transferencia de los controladores se detallarán más adelante en este capítulo.
6.1.1 Componentes de un lazo de control
El sistema de control se compone del controlador y del punto suma, que compara la lectura del medidor con la consigna para dar el error \(\varepsilon\) que alimenta el controlador. El objetivo del sistema de control es minimizar el error para que su valor sea lo más próximo a cero. Además debe lograr eliminar los errores lo más rápidamente posible.
En Sección 1.3 se describe cualitativamente un bucle de control por retroalimentación, un intercambiador de calor en una planta de pasteurización de leche. En este capítulo se describirá el bucle de una manera más detallada.
El proceso, en este caso el intercambiador de calor, viene descrito por la función de transferencia \(G_p\). El proceso puede tener dos posibles entradas: \(f(t)\) que es la variable manipulable y \(d(t)\) que representa a las perturbaciones. Las perturbaciones pueden ser una entrada en cualquier punto del lazo de control, pero normalmente son debidas al proceso. La respuesta del proceso es la variable controlada que normalmente se indicará como \(y (t)\). Esta variable es la respuesta global del sistema formado por todos los elementos del lazo de control.
El valor de la variable controlada se mide con un sensor, un termómetro de resistencia de tipo Pt100 para el ejemplo, cuya dinámica viene descrita por la función de transferencia \(G_m\). Como salida de este proceso se obtiene la variable controlada medida \(y_m (t)\).
El valor de \(y_m\) se compara con la consigna \(y_{sp}(t)\) para obtener el error \(\varepsilon (t)\). El valor de la consigna será normalmente cero, en el caso de estar definido utilizando variables de desviación. Este error es la entrada del controlador, cuya función de transferencia es \(G_c\). La respuesta del controlador \(c (t)\) es una intensidad de corriente o una diferencia de presión según sea el sistema de transmisión de información eléctrico o neumático.
Esta acción de control \(c(t)\) modifica al elemento final de control (\(G_f\)), en ejemplo tratado es una válvula, para que cambie el valor de la variable manipulable \(f(t)\). El cambio de la variable manipulable modifica el estado del proceso. Si el sistema de control funciona correctamente este cambio de la variable controlada debe tender a eliminar el error. En el caso de que lo que se haya producido haya sido un cambio a la consigna, debe conducir al sistema al nuevo estado estacionario deseado.
6.1.2 Componentes de acción inversa
Aunque la mayoría de elementos del bucle de control son de acción directa –el signo de la salida es el mismo de la entrada–, también existen procesos de acción inversa. Los procesos de acción inversa tienen una ganancia negativa. Un elemento de acción inversa presente en todos los lazos de control es el comparador. En el comparador se produce una cambio de signo, ya que para calcular el error se resta la variable medida a la consigna (Figura 6.3). Por este motivo se puede considerar al comparador como un elemento de acción inversa.
Se puede demostrar de manera muy sencilla que para que un lazo de control pueda funcionar correctamente debe tener un número impar de elementos de acción inversas, es decir, un número impar de cambios de signo en el lazo de control. Si existe en el lazo de control un número par de elementos de acción inversa se debe incluir un bloque -1 entre el comparador y el controlador (Figura 6.4).
En este curso los bloques y procesos utilizados solo tienen una entrada y una salida. En cambio el proceso en la Figura 6.2, el proceso tiene dos entradas, la variable manipulable y las perturbaciones. Para evitar ese problema habitualmente el se considera que además del proceso existe una función de transferencia debida a las perturbaciones (\(G_d\)) que no forma parte del lazo de control. Realizando esa modificación el lazo de control queda como el mostrado en la Figura 6.5.
6.1.3 Forma canónica
Con frecuencia los lazos de control se expresan de manera simplificada utilizando la forma canónica. Para ello es necesario tener en cuenta que \(G_c\), \(G_f\) y \(G_p\) son tres funciones de transferencia en serie.
La función de transferencia entre la consigna y la salida es:
\[\frac{y (s)}{y_{sp} (s)} = \frac{G_c G_f G_p}{1 + G_c G_f G_p G_m}\]
La función de transferencia entre la perturbación y la salida es:
\[\frac{y (s)}{d (s)} = \frac{G_d}{1 + G_c G_f G_p G_m}\]
Por tanto la salida del lazo de control para un cambio simultáneo de la consigna y de la perturbación será:
\[y (s) = \frac{G_c G_f G_p}{1 + G_c G_f G_p G_m} y_{sp} (s) + \frac{G_d}{1 + G_c G_f G_p G_m} d (s)\]
6.2 Control proporcional (P)
El acción de control \(c\) del controlador proporcional es:
\[c (t) = K_c \varepsilon (t) + c_s \tag{6.1}\]
donde \(K_c\) es la ganancia proporcional del controlador y \(c_s\) es el bias del controlador.
La ganancia del controlador también se puede expresar mediante la Banda proporcional, expresada como porcentaje:
\[\mathrm{BP} = \frac{100}{K_c}\]
Normalmente, \(1 \leqslant \mathrm{BP} \leqslant 500\). La banda proporcional expresa el intervalo del error para que el control se sature. Cuanto mayor es \(K_c\), menor es BP y mayor es la sensibilidad del controlador a los cambios o, lo que es lo mismo, al error \(\varepsilon\).
El bias del controlador es el valor de la acción de control cuando el error es nulo.
La función de transferencia del controlador se obtiene realizando la transformada de Laplace a la Ecuación 6.1:
\[G_c (s) = K_c\]
teniendo en cuenta que se ha utilizado como variable de desviación:
\[c' (t) = c (t) - c_s\]
La acción de control proporcional es la más importante y se encuentra en todos los sistemas de control.
Ejemplo
En el problema 6.2 se muestra un ejemplo de controlador proporcional.
6.3 Control Proporcional + Integral (PI)
En este tipo de controlador la acción de control es:
\[c (t) = K_c \varepsilon (t) + \frac{K_c}{\tau_I} \int_0^t \varepsilon (t) \mathrm{d}t + c_s\]
donde \(\tau_I\) es el tiempo integral o tiempo de reset. Se suele expresar como minutos por repetición y se suele encontrar entre \(0.1 \text{min} \leqslant \tau_I \leqslant 50\)min. También se puede expresar como \(\frac{1}{\tau_I}\) (repeticiones por minuto) y se conoce como la velocidad de reset. \(K_c\) es la ganancia del controlador, tal como ocurría con el controlador proporcional. Al conjunto \(\frac{K_c}{\tau_I}\), a veces, se le conoce como la ganancia integral \(K_I\).
A \(\tau_I\) se le conoce como el tiempo de reset porque es el tiempo necesario para que el controlador repita la acción de control inicial:
\[\frac{K_c}{\tau_I} \int_0^{\tau_I} \varepsilon \mathrm{d}t = \frac{K_c}{\tau_I} \varepsilon \tau_I = K_c \varepsilon\]
para un error constante con el tiempo, como por ejemplo, el debido a un escalón.
La función de transferencia de este tipo de controladores es:
\[G_c (s) = K_c \left( 1 + \frac{1}{\tau_I s} \right)\]
El controlador PI actúa mientras exista error en la salida produciendo cada vez valores mayores para la acción integral. Por tanto, se deben tomar acciones especiales para evitar saturaciones en los actuadores finales para errores persistentes con el tiempo.
Ejemplo
Ver Problema 6.4 con un controlador PI.
6.4 Control Proporcional + Derivativo (PD)
Se define como:
\[c (s) = K_c \varepsilon (t) + K_c \tau_D \frac{\mathrm{d}\varepsilon (t)}{\mathrm{d}t} + c_s\]
donde \(\tau_D\) es la constante de tiempo derivativa. La acción de control derivativa aplica una acción de control proporcional a la velocidad de cambio del error. En cierta manera se anticipa al error futuro, por ello se la conoce a veces como control anticipativo. En lugar de la constante de tiempo derivativa se utiliza a veces la ganancia derivativa \(K_D\) que es \(K_c \tau_D\).
Presenta el problema de que puede tomar acciones de control derivativas intensas para sistemas con ruido pero con un error próximo a cero, lo que implica que la acción de control no es necesario. Este problema se puede solucionar añadiendo algún sistema de filtrado que elimine o minimice el ruido.
Su función de transferencia es:
\[G_c (s) = K_c (1 + \tau_D s)\]
Ejemplo
Ver problema 6.6 para un ejemplo de controlador PD.
6.5 Control Proporcional + Integral + Derivativo (PID)
Simplemente es la combinación de las tres acciones de control anteriores:
\[c (t) = K_c \varepsilon (t) + \frac{K_c}{\tau_I} \int_0^t \varepsilon (t) \mathrm{d}t + K_c \tau_D \frac{\mathrm{d}\varepsilon (t)}{\mathrm{d}t} + c_s\]
y su función de transferencia es:
\[G_c (s) = K_c \left( 1 + \frac{1}{\tau_I s} + \tau_D s \right)\]
Ejemplo
Un ejemplo de controlador PID se muestra en el problema 6.5
6.6 Problemas
Problema 6.1
Reducir el siguiente diagrama de bloques a la forma canóncia:
Problema 6.2 ★
Determinar la ganancia y la banda proporcional de un controlador neumático proporcional de acción directa con una escala de 0-120 °C, si la variación en la salida pasa de 20 a 100 kPa cuando la temperatura aumenta desde 95 a ℃. Si se cambia la banda proporcional a 50 %, determinar la ganancia y la variación de temperatura requerida para un cambio total en la salida.
Solución
Un posible diagrama del sistema de control propuesto es el siguiente:
La temperatura del tanque \(T (t)\) la mide un sensor de temperatura. La respuesta de este medidor es \(T_m (t)\), esta variable se alimenta al controlador que la compara con el valor de consigna \(T_{sp} (t)\). La acción de control \(c (t)\) se envía a la válvula neumática que modifica el caudal de agua caliente \(Q (t)\). Al variar el caudal de agua caliente varía la temperatura del tanque. Si el sistema de control funciona correctamente la diferencia entre esta temperatura y la consigna debe ser cada vez menor, si no se producen cambios o perturbaciones.
Se puede plantear un diagrama de bloques que representa la instalación anterior:
El controlador es proporcional, lo que significa que:
\[\begin{aligned} \text{Error: } & \varepsilon (t) = T_{sp} (t) - T_m (t) & \\ \text{Acción de control: } & c (t) = K_c \varepsilon (t) & \end{aligned}\]
donde \(K_c\) es la ganancia del controlador. La ganancia del controlador será, por tanto, la pendiente de la recta siguiente:
using Plots
plot([95, 100], [20, 110], xlim=[95,100],
xlabel=L"T\ \mathrm{(}\degree \mathrm{C)}", ylabel=L"P\ \mathrm{(kPa)}",
legend=false)Lo que supone:
\[K_c = \frac{P_{\max} - P_{\min}}{T_{\max} - T_{\min}} = \frac{100 \ \mathrm{kPa} - 20\ \mathrm{kPa}}{110\text{ ºC} - 95\text{ ºC}} = 5.33\ \mathrm{kPa} /℃\]
La banda proporcional (BP) es el porcentaje de uso del controlador. En este caso, aunque el controlador tiene capacidad de controlar temperaturas entre 0 y 120 ℃ se utiliza para controlar temperaturas entre 95 y 110 ℃. Eso supone que:
\[\mathrm{BP} = 100 \frac{110\text{ ºC} - 95\text{ ºC}}{120\text{ ºC} - 0\text{ ºC}} = 12.5\%\]
Si la banda proporcional es de 50%, el incremento de temperaturas controlado será:
\[\Delta T = \frac{\mathrm{BP}\ 120\text{ ºC}}{100} = 60℃\]
Por tanto la ganancia del controlador será:
\[K_c = \frac{100\ \mathrm{kPa} - 20\ \mathrm{kPa}}{60\text{ ºC}} = 0.133 \mathrm{kPa} /℃\]
Problema 6.3 ★
Un controlador neumático de acción directa, que opera en el intervalo de 3-15 psig para una escala de temperatura de 0 a 100 °C, está saturado para temperaturas inferiores a 30 °C y superiores a 90 °C. Determinar:
La ganancia y la BP.
La presión del aire a la salida del controlador cuando la temperatura sea de 70 °C.
La \(\tau_I\) de un controlador integral incorporado al proporcional, si al introducir ele elemento medido en un medio a 70 ℃ (inicialmente a 30 ℃) el controlador se satura en 10 minutos.
Solución
a.) En este caso el sistema controlador-elemento final de control tiene la capacidad de controlar cambios de temperatura entre 0 y 100 °C, pero se utiliza para controlar cambios entre 30 y 90 °C. Eso supone que no se utiliza toda la capacidad de control del sistema de control pero que se utiliza una ganancia proporcional del controlador más elevada, con las ventajas que eso puede suponer. La banda proporcional de este sistema es:
\[\mathrm{BP} = \frac{90\text{ ºC} - 30 \text{ ºC}}{100\text{ ºC} - 0\text{ ºC}} 100 = 60\%\]
La ganancia del controlador es:
\[K_c = \frac{15\ \mathrm{psig} - 3 \text{ psig}}{90 \text{ ºC} - 30 \text{ ºC}} = 0.2 \mathrm{psig} /\text{ºC}\]
- La salida de un controlador proporcional es:
\[c (t) = K_c \varepsilon (t) + c_s\]
donde \(c_s\) es el bias del controlador, es decir, la salida del controlador cuando el error es nulo.
En primer lugar hay que calcular el bias del controlador, para ello se va a suponer que en estado estacionario la temperatura es de 30 °C y que la salida del controlador es de 3 psig. Por tanto,
\[3\ \mathrm{psig} = K_c 0 + c_s \Rightarrow c_s = 3\ \mathrm{psig}\]
Si la temperatura es de 70 °C, el error será:
\[\varepsilon = 70 \text{ ºC} - 30 \text{ ºC} = 40 \text{ ºC}\]
Por tanto, la salida del controlador es:
\[c = (0.2\ \mathrm{psig} /\text{ºC}) (40 \text{ ºC}) + 3\ \mathrm{psig} = 11\ \mathrm{psig}\]
- Aquí se plantea un cambio en la temperatura en forma de escalón de altura 40 °C, lo que supone que $= 40 $°C.
Un controlador proporcional-integral (PI) responde a la siguiente dinámica:
\[c (t) = K_c \varepsilon + \frac{K_c}{\tau_I} \int_0^t \varepsilon \mathrm{d}t + c_s\]
Se debe buscar qué constante de tiempo integral hace que el controlador se sature (que alcance uno de los valores límite de salida, en este caso, la máxima presión de salida) a los 10 minutos. Por tanto:
\[c (t = 10) = 15\ \mathrm{psig} = (0.2\ \mathrm{psig} /\text{ºC}) (40\text{ ºC}) + \frac{0.2}{\tau_I} \int_0^{10} (40\text{ ºC}) \mathrm{d}t + 3\ \mathrm{psig}\]
Resolviendo la ecuación anterior se encuentra que \(\tau_I = 20 \min\).
Problema 6.4 ★
La temperatura de un proceso tiene un campo de variación de 200 ℃. Para efectuar su control se dispone de dos opciones de controladores neumáticos que actúan sobre una válvula:
Un controlador proporcional (3-15 psig) de BP = 50 %.
Un controlador PI de BP = 50 % y \(\tau_I\) = 1 min.
El proceso en estado estacionario está a 60 °C, siendo la presión del controlador 3 psig. Si la temperatura aumenta bruscamente hasta 70 °C, calcular:
La presión que actúa sobre la válvula en el control P.
La presión que actúa sobre la válvula en el control PI.
La influencia de la BP en el control PI.
La influencia de la \(\tau_I\) en el control PI.
Solución
Para ambos controladores la temperatura estacionaria es de 60 °C. En esas condiciones la salida del controlador es de 3 psig. Como consecuencia se tomarán \(c_s = 3 \text{ psig}\).
El cambio brusco de temperatura es un escalón de altura 10 °C:
\[\varepsilon = 70 \text{ °C} - 60\text{ °C} = 10\text{ ºC}\]
- Una banda proporcional de 50% implica que aunque el campo de variación del controlador sea de 200 °C solo se controlarán variaciones de temperatura máximas de:
\[\mathrm{BP} = 50\%= \frac{\Delta T_{}}{200} 100 \Rightarrow \Delta T_{} = 100\text{ °C}\]
Por tanto la ganancia proporcional es:
\[K_c = \frac{\Delta P}{\Delta T} = \frac{15 \text{ psig} - 3 \text{ psig}}{100\text{ °C}} = 0.12 \text{ psig} / \text{K}\]
La salida del controlador proporcional será:
\[c (t) = K_c \varepsilon (t) + c_s = (0.12 \text{ psig} / K) (10\text{ °C}) + 3 \text{ psig} = 4.2 \text{ psig}\]
- La respuesta del controlador PI es (la ganancia proporcional es la misma que en el apartado anterior):
\[c (t) = K_c \varepsilon (t) + \frac{K_c}{\tau_I} \int_0^t \varepsilon (t) \mathrm{d}t + c_s = K_c \varepsilon + \frac{K_c}{\tau_I} \varepsilon t + c_s = 4.2 \text{ psig} + (1.2 \text{ psig} / \text{min}) t\]
A los 9 minutos el controlador se satura (\(c = 15 \text{ psig}\)). Pasados 9 minutos el sistema queda fuera de control.
Al aumentar la banda proporcional, disminuye la ganancia proporcional. Esa disminución supone que la acción de control será menos intensa. La pendiente de la curva del aparatado b) \(\frac{K_c}{\tau_I} \varepsilon\) será menor, como consecuencia el sistema de control será más lento, tardará más tiempo en saturarse y en eliminar los errores del sistema.
Si aumenta la constante de tiempo integral, la acción de control es menos intensa y más lenta ya que disminuye la pendiente \(\frac{K_c}{\tau_I} \varepsilon\).
Problema 6.5 ★
Un controlador P+I+D está en estado estacionario con una presión de salida de 9 psig. La consigna y el punto de registro están juntos inicialmente. En el tiempo \(t\) = 0, la consigna varía respecto al punto de registro a una velocidad de 0.5 in/min hacia lecturas más bajas. Si \(K_c\) = 2 psig/in de registro, \(\tau_I\) = 1.25 min y \(\tau_D\) = 0.4 min, dibujar la presión de salida frente al tiempo.
Solución
La salida de un controlador PID es:
\[c (t) = K_c \left( \varepsilon (t) + \frac{1}{\tau_I} \int_0^t \varepsilon(t) \mathrm{d}t + \tau_D \frac{\mathrm{d}\varepsilon (t)}{\mathrm{d}t} \right) + c_s\]
En este problema:
\[\begin{aligned} K_c &= 2 \text{ psig} / \text{in}\\ \tau_I &= 1.25 \text{ min} \\ \tau_D &= 0.4 \text{ min} \\ c (t = 0 \text{ min} ) &= 9 \text{ psig} \\ \varepsilon (t) &= - 0.5 \text{ in} /\text{ min} \end{aligned}\]
Sustituyendo:
\[c (t) = 2 \left( - 0.5 t + \frac{1}{1.25} \int_0^t - 0.5 t \mathrm{d}t + 0.4 \frac{\mathrm{d}(- 0.5 t)}{\mathrm{d}t} \right) + c_s = - t - 0.8 \frac{t^2}{2} - 0.4 + c_s\]
El bias del controlador es \(c_s = 9.4 \text{ psig}\), ya que \(c (t = 0 min) = 9 \text{ psig}\). Por tanto, la curva a representar es:
\[c (t) = 9 - t - 0.4 t^2\]
using Plots
t = 0:0.1:4
plot(t, t -> 9-t-0.4t^2, lw=2, legend=false,
xlabel="t (min)", ylabel="P (psig)")
hline!([0], lw=1, color="red")Problema 6.6
Calcular la respuesta de un controlador PD a un cambio en el error en rampa de pendiente \(\alpha\). Dibujar las contribuciones de la acción derivativa y proporcional separadas. Discutir la naturaleza anticipativa de la acción de control derivativa a partir de esta gráfica.
Problema 6.7
Identificar los elementos físicos presentes en el sistema de control de temperatura de un fermentador.
Compararlos con los que se encontrarían en el sistema de control de temperatura de un horno. ¿Se observa alguna diferencia en la descripción matemática de estos sistemas?