Un sistema de segundo orden es aquel cuya salida \(y(t)\) puede ser descrita por una ecuación diferencial de segundo orden:
\[a_2 \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} + a_1 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + a_0 y = b f (t)\]
Si \(a_0 \neq 0\):
\[\tau^2 \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} + 2 \zeta \tau \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d} t} + y = K_p f (t)\]
donde \(\tau^2 = \frac{a_2}{a_0}\), \(2 \zeta \tau = \frac{a_1}{a_0}\) y \(K_p = \frac{b}{a_0}\).
Las nuevas constantes son:
\(\tau\) es la constante de tiempo (o período natural del sistema)
\(\zeta\) es el coeficiente (o factor) de amortiguamiento
\(K_p\) es la ganancia del proceso, tiene el mismo significado que para los sistemas de primer orden
Tomando variables de desviación y condiciones iniciales iguales a cero, la función de transferencia queda como:
\[G (s) = \frac{K_p}{\tau^2 s^2 + 2 \zeta \tau s + 1}\]
Los sistemas de segundo orden se pueden clasificar en tres categorías (Figura 5.1):
Sistemas inherentes de segundo orden. No son frecuentes en la industria, algunos ejemplos son los manómetros o las válvulas neumáticas.
Procesos consistentes en dos o más procesos de primer orden, en serie o en paralelo, por los que fluye materia o energía.
Un proceso con su controlador presenta una dinámica de segundo orden o de orden superior.
La salida de un sistema de segundo orden a una entrada de tipo escalón es:
\[y (s) = \frac{K_p}{\tau^2 s^2 + 2 \zeta \tau s + 1} \frac{M}{s}\]
Para poder descomponer la respuesta en fracciones simples y poder obtener la respuesta en tiempo real hay que hallar las raíces del denominador:
\[s_1, s_2 = \frac{- \zeta \pm \sqrt[]{\zeta^2 - 1}}{\tau}\]
En función del valor del coeficiente de amortiguamiento se pueden plantear tres casos.
using SymPy, Plots, LaTeXStrings
@syms t::real Kp::real=>"K_p" M::real
@syms T::positive=>"τ" Z::positive=>"ζ"
@syms s
iL(f) = sympy.inverse_laplace_transform(f, s, t)
G = Kp/(T^2*s^2+2*Z*T*s+1)
f = M/s
y = G*f
solve(denominator(y),s)\(\left[\begin{smallmatrix}0\\\frac{- ζ - \sqrt{ζ^{2} - 1}}{τ}\\\frac{- ζ + \sqrt{ζ^{2} - 1}}{τ}\end{smallmatrix}\right]\)
Es la respuesta obtenida cuando \(\zeta > 1\), las dos soluciones son reales. La salida con el tiempo es:
\[\frac{y (t)}{K_p M} = 1 - \mathrm{e}^{- \zeta \frac{t}{\tau}} \left( \cosh \left( \sqrt[]{\zeta^2 - a} \frac{t}{\tau} \right) + \frac{\zeta}{\sqrt[]{\zeta^2 - 1}} \sinh \left( \sqrt[]{\zeta^2 - 1} \frac{t}{\tau} \right) \right)\]
En este caso la respuesta no presenta oscilaciones. Cuanto mayor es el coeficiente de amortiguamiento más amortiguada es la respuesta, el sistema necesita más tiempo para alcanzar el nuevo estado estacionario.
La ganancia \(K_p\) tiene el mismo sentido físico que para los sistemas de primer orden.
Cuando solo hay una solución real (repetida), \(\zeta = 1\):
\[\frac{y (t)}{K_p M} = 1 - \left( 1 + \frac{t}{\tau} \right) \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\]
Se obtiene cuando las soluciones son complejas (conjugadas, obviamente), para que eso se produzca \(\zeta < 1\). La función respuesta obtenida es:
\[\frac{y (t)}{K_p M} = 1 - \frac{1}{\sqrt[]{1 - \zeta^2}} \mathrm{e}^{- \zeta \frac{t}{\tau}} \sin \left( \sqrt[]{1 - \zeta^2} \frac{t}{\tau} + \operatorname{atan} \frac{\sqrt[]{1 - \zeta^2}}{\zeta} \right)\]
La respuesta es oscilatoria y se pueden definir los siguientes parámetros característicos:
Sobrepaso (overshoot):
\[\text{Sobrepaso} = \frac{A}{B} = \exp \left( \frac{- \pi \zeta}{\sqrt[]{1 - \zeta^2}} \right)\]
El sobrepaso se produce a:
\[t_{\text{sobrepaso}} = \frac{\pi \tau}{\sqrt{1-\zeta^2}}\]
El desarrollo del cálculo de estos parámetros se puede encontrar en Zywno (s. f.).
El sobrepaso aumenta al disminuir el coeficiente de amortiguamiento. Para el caso límite de que el coeficiente de amortiguamiento tienda a 1, el sobrepaso también tiende a 1.
Razón de disminución (decay ratio):
\[\text{Razón de disminución} = \frac{C}{A} = \exp \left( \frac{- 2 \pi \zeta}{\sqrt[]{1 - \zeta^2}} \right) = \text{ sobrepaso}^2\]
Período de oscilación:
\[T = \frac{1}{\nu} = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi \tau}{\sqrt[]{1 - \zeta^2}}\]
Si \(\zeta = 0\), \(T = 2 \pi \tau\) es el período natural de oscilación.
Tiempo de respuesta (response time): Un sistema subamortiguado alcanza su valor estacionario de manera oscilatoria cuando el tiempo se hace infinito. A efectos prácticos se toma como tiempo de respuesta el necesario para que la salida del sistema esté dentro del ±5 % o del ±2 % de la respuesta estacionaria y permanezca en ese intervalo. Estos tiempos se pueden calcular de manera aproximada con las siguientes fórmulas:
\[t_{\text{respuesta}(\pm5\ \%)}=\frac{3\tau}{\zeta}\] \[t_{\text{respuesta}(\pm2\ \%)}=\frac{4\tau}{\zeta}\]
Tiempo de levantamiento (rc{ise time): De esta manera se caracteriza la velocidad con la que responde el sistema subamortiguado. Se define como el tiempo que tarda el sistema en alcanzar su valor estacionario por primera vez. Su valor es:
\[t_{\text{levantamiento}}=\frac{\tau (\pi - cos^{-1}\zeta)}{\sqrt{1-\zeta^2}}\]
Es importante resaltar que cuanto menor es el coeficiente de amortiguamiento, menor es el tiempo de levantamiento, pero mayor es el sobrepaso.
Habitualmente solo se tratan de manera analítica sistemas lineales de hasta segundo orden. Los sistemas lineales de orden superior o no lineales se acostumbran a estudiar recurriendo a la utilización de sistemas numéricos —como es, por ejemplo, la resolución de ecuaciones diferenciales por el método de Euler o de Runge-Kutta– o su simplificación a sistemas lineales mediante su linealización.
La linealización de un proceso es aproximar sistemas lineales a sistemas no lineales. Se utiliza ampliamente en el estudio de la dinámica de procesos y el diseño de sistemas de control por las siguientes razones:
Es posible encontrar soluciones analíticas a los sistemas lineales. Además se puede realizar estudios completos y generales del comportamiento de los sistemas lineales independientemente de los valores particulares de los parámetros y de las variables del sistema.
Todos los desarrollos significativos útiles, hasta hace unos pocos años, para el desarrollo efectivo de sistemas de control se ha limitado a procesos lineales.
Para llevar a cabo la linealización se recurre a desarrollos en serie de Taylor para una o más variables.
Uno de los elementos no lineales más habituales en los procesos alimentarios es la existencia de retrasos. En la Sección 7.5 se estudiará su influencia en el control de procesos.
Sea el siguiente proceso de primer orden con un retraso:
Para el sistema de primer orden:
\[G_p = \frac{\mathcal{L} [y (t)]}{\mathcal{L} [f (t)]} = \frac{K_p}{\tau_p s + 1}\]
y para el retraso (Ecuación 3.6, propiedad translación de la transformada, Sección 3.2):
\[\frac{\mathcal{L} [y (t - t_d)]}{\mathcal{L} [y (t)]} = \mathrm{e}^{- t_d s}\]
donde \(t_d\) es el retraso o tiempo muerto.
Por tanto el proceso puede representarse como:
La función de transferencia global para el proceso de primer orden y el retraso será:
\[\frac{\mathcal{L} [y (t - t_d)]}{\mathcal{L} [f (t)]} = \frac{K_p}{\tau_p s + 1} \mathrm{e}^{- t_d s}\]
El cálculo de la transformada inversa de Laplace es sencillo. En este caso lo vamos a realizar utilizando SymPy. En primer lugar, cargaremos las bibliotecas que vamos a utilizar, definiremos los símbolos necesarios y las funciones de transferencia del proceso (\(G_p\)) y del retraso (\(G_d\)). También calcularemos la función de transferencia \(G\), resultado de plantear la serie de bloques formada por el proceso y por el retraso:
using SymPy, Plots, LaTeXStrings
@syms s t::real td::positive=>"t_d" K::real T::real=>"tau" M::real
Gp = K/(T*s+1)
Gd = exp(-td*s)
G = Gp*Gd\(\frac{K e^{- s t_{d}}}{s \tau + 1}\)
La respuesta del proceso de primer orden \(y(t)\) es:
y = sympy.inverse_laplace_transform(Gp*M/s, s, t)\(K M \left(\theta\left(t\right) - e^{- \frac{t}{\tau}} \theta\left(t\right)\right)\)
La salida tras sufrir el retraso \(t_d\) es:
yd = sympy.inverse_laplace_transform(G*M/s, s, t)\(K M \left(1 - e^{\frac{- t + t_{d}}{\tau}}\right) \theta\left(t - t_{d}\right)\)
El efecto del retraso es muy evidente al representar gráficamente ambas respuestas:
El retraso se puede simplificar matemáticamente mediante la aproximación de Padé:
\[\mathrm{e}^{- t_d s} \approx \frac{1 - \frac{t_d}{2} s}{1 + \frac{t_d}{2} s}\]
Determinar la respuesta dinámica de un sistema de segundo orden sobreamortiguado y de un sistema subamortiguado a las siguientes entradas:
impulso unidad
pulso unidad de 5 minutos de duración
\(\sin (2 t)\)
Determinar la respuesta estacionaria resultante.
Sea la siguiente función de transferencia de segundo orden:
\[G (s) = \frac{y (s)}{m (s)} = \frac{1}{s^2 + s + 1}\]
Se introduce un cambio en escalón de altura 5 en el sistema, calcular:
el sobrepaso
la razón de disminución
el valor máximo de \(y(t)\)
el tiempo de levantamiento
el periodo de oscilación
Cuál de los siguientes sistemas de segundo orden es equivalente a dos sistemas de primer orden en serie y cuál no?
\(G (s) = \frac{1}{s^2 + s + 2}\)
\(G (s) = \frac{1}{s^2 + 1.9 s + 0.7}\)
\(G (s) = \frac{1}{s^2 + 5}\)
\(G (s) = \frac{1}{s^2 + s + 2}\)
Sea un sistema de segundo orden con una entrada sinusoidal, \(m(t) = 1 \sin(2 t)\). Demostrar que la respuesta estacionaria es:
una función sinusoidal,
tiene una amplitud \(\frac{1}{\sqrt{(1-t\tau^2)^2+(4\zeta\tau)^2}}\) y
tiene como desfase \(\varphi = \mathrm{atan}\left(\frac{-4\zeta\tau}{1-4\tau^2}\right)\).
Este problema se puede resolver resolviendo directamente la ecuación diferencial o utilizando la función de transferencia de un sistema lineal de segundo orden.
Ecuación diferencial
La ecuación a resolver es:
\[\tau^2 \frac{d^2 y}{d t} + 2 \zeta \tau \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} + y = 1 \sin 2 t\]
Para resolver analíticamente la ecuación se puede recurrir a Sympy. Para resolver la ecuación diferencial se ha supuesto que:
\[y (t = 0) = \frac{\mathrm{d} y(t=0)}{\mathrm{d} t} = 0\]
lo que es razonable asumiendo que se está trabajando con variables de desviación.
En el enunciado del problema no se dice si se trata de un sistema subamortiguado (\(\zeta < 1\)), críticamente amortiguado (\(\zeta = 1\)) o sobreamortiguado (\(\zeta > 1\)).
1. Sistema sobreamortiguado: La constante de tiempo \(\tau\) y el coeficiente de amortiguamiento \(\zeta\) son siempre positivas. Por tanto, si \(\zeta > 1\) el producto \(\tau^2 (\zeta - 1) (\zeta + 1)\) será positivo. Resolviendo la ecuación:
using SymPy
@syms t::real T::real=>"tau" z::positive=>"zeta" s y()
D = Differential(t)
deq = T^2*D(D(y(t))) + 2*z*T*D(y(t)) + y(t) ~ sin(2*t)
ics = Dict(y(0)=>0, D(y)(0)=>0)
sol = rhs(dsolve(deq, y(t), ics=ics))\(- \frac{4 \tau^{2} \sin{\left(2 t \right)}}{16 \tau^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} + 1} - \frac{4 \tau \zeta \cos{\left(2 t \right)}}{16 \tau^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} + 1} + \left(- \frac{4 \tau^{3} \zeta}{- 16 \tau^{4} \zeta^{2} + 16 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 16 \tau^{4} - 16 \tau^{2} \zeta^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 24 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 8 \tau^{2} - \zeta^{2} + \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 1} + \frac{4 \tau^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}}{- 16 \tau^{4} \zeta^{2} + 16 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 16 \tau^{4} - 16 \tau^{2} \zeta^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 24 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 8 \tau^{2} - \zeta^{2} + \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 1} - \frac{4 \tau \zeta^{3}}{- 16 \tau^{4} \zeta^{2} + 16 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 16 \tau^{4} - 16 \tau^{2} \zeta^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 24 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 8 \tau^{2} - \zeta^{2} + \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 1} + \frac{4 \tau \zeta^{2} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}}{- 16 \tau^{4} \zeta^{2} + 16 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 16 \tau^{4} - 16 \tau^{2} \zeta^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 24 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 8 \tau^{2} - \zeta^{2} + \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 1} + \frac{3 \tau \zeta}{- 16 \tau^{4} \zeta^{2} + 16 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 16 \tau^{4} - 16 \tau^{2} \zeta^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 24 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 8 \tau^{2} - \zeta^{2} + \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 1} - \frac{\tau \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}}{- 16 \tau^{4} \zeta^{2} + 16 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 16 \tau^{4} - 16 \tau^{2} \zeta^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 24 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 8 \tau^{2} - \zeta^{2} + \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 1}\right) e^{- \frac{t \left(\zeta + \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}\right)}{\tau}} + \left(\frac{16 \tau^{3} \zeta^{3}}{- 64 \tau^{4} \zeta^{4} + 64 \tau^{4} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 80 \tau^{4} \zeta^{2} - 48 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 16 \tau^{4} - 64 \tau^{2} \zeta^{6} + 64 \tau^{2} \zeta^{5} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 112 \tau^{2} \zeta^{4} - 80 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 56 \tau^{2} \zeta^{2} + 24 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 8 \tau^{2} - 4 \zeta^{4} + 4 \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 5 \zeta^{2} - 3 \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 1} - \frac{16 \tau^{3} \zeta^{2} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}}{- 64 \tau^{4} \zeta^{4} + 64 \tau^{4} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 80 \tau^{4} \zeta^{2} - 48 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 16 \tau^{4} - 64 \tau^{2} \zeta^{6} + 64 \tau^{2} \zeta^{5} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 112 \tau^{2} \zeta^{4} - 80 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 56 \tau^{2} \zeta^{2} + 24 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 8 \tau^{2} - 4 \zeta^{4} + 4 \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 5 \zeta^{2} - 3 \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 1} - \frac{12 \tau^{3} \zeta}{- 64 \tau^{4} \zeta^{4} + 64 \tau^{4} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 80 \tau^{4} \zeta^{2} - 48 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 16 \tau^{4} - 64 \tau^{2} \zeta^{6} + 64 \tau^{2} \zeta^{5} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 112 \tau^{2} \zeta^{4} - 80 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 56 \tau^{2} \zeta^{2} + 24 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 8 \tau^{2} - 4 \zeta^{4} + 4 \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 5 \zeta^{2} - 3 \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 1} + \frac{4 \tau^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}}{- 64 \tau^{4} \zeta^{4} + 64 \tau^{4} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 80 \tau^{4} \zeta^{2} - 48 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 16 \tau^{4} - 64 \tau^{2} \zeta^{6} + 64 \tau^{2} \zeta^{5} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 112 \tau^{2} \zeta^{4} - 80 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 56 \tau^{2} \zeta^{2} + 24 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 8 \tau^{2} - 4 \zeta^{4} + 4 \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 5 \zeta^{2} - 3 \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 1} + \frac{\tau \zeta}{- 64 \tau^{4} \zeta^{4} + 64 \tau^{4} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 80 \tau^{4} \zeta^{2} - 48 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 16 \tau^{4} - 64 \tau^{2} \zeta^{6} + 64 \tau^{2} \zeta^{5} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 112 \tau^{2} \zeta^{4} - 80 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 56 \tau^{2} \zeta^{2} + 24 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 8 \tau^{2} - 4 \zeta^{4} + 4 \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 5 \zeta^{2} - 3 \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 1} - \frac{\tau \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}}{- 64 \tau^{4} \zeta^{4} + 64 \tau^{4} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 80 \tau^{4} \zeta^{2} - 48 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 16 \tau^{4} - 64 \tau^{2} \zeta^{6} + 64 \tau^{2} \zeta^{5} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 112 \tau^{2} \zeta^{4} - 80 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 56 \tau^{2} \zeta^{2} + 24 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 8 \tau^{2} - 4 \zeta^{4} + 4 \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 5 \zeta^{2} - 3 \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 1}\right) e^{\frac{t \left(- \zeta + \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}\right)}{\tau}} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{16 \tau^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} + 1}\)
La respuesta obtenida se puede dividir en dos partes diferenciadas, una transitoria y otra estacionaria. La parte transitoria de la respuesta es:
\[\begin{multline}
(- \frac{4 \tau^{3}}{16 \tau^{4} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 16 \tau^{2} \zeta^{2} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 8 \tau^{2} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}}\\ - \frac{2 \tau \zeta^{2}}{16 \tau^{4} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 16 \tau^{2} \zeta^{2} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 8 \tau^{2} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}}\\ + \frac{2 \tau \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}}{16 \tau^{4} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 16 \tau^{2} \zeta^{2} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 8 \tau^{2} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}}\\ + \frac{\tau}{16 \tau^{4} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 16 \tau^{2} \zeta^{2} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 8 \tau^{2} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}}) e^{\frac{t (- \zeta - \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1})}{\tau}}\\ + (\frac{4 \tau^{3}}{16 \tau^{4} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 16 \tau^{2} \zeta^{2} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 8 \tau^{2} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}}\\ + \frac{2 \tau \zeta^{2}}{16 \tau^{4} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 16 \tau^{2} \zeta^{2} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 8 \tau^{2} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}}\\ + \frac{2 \tau \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}}{16 \tau^{4} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 16 \tau^{2} \zeta^{2} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 8 \tau^{2} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}}\\ - \frac{\tau}{16 \tau^{4} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 16 \tau^{2} \zeta^{2} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 8 \tau^{2} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}}) e^{\frac{t \left(- \zeta + \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}\right)}{\tau}} \underset{t \rightarrow \infty}{\rightarrow} 0
\end{multline}\]
El cálculo de este límite parece muy complicado, pero, en realidad, es muy simple ya que aparecen términos de tipo \(\exp(-t)\) que se anulan cuando el tiempo tiende a infinito.
La parte más importante es la porción estacionaria, ya que será la que marque la dinámica tras los instantes iniciales. Despreciando la parte transitoria se obtiene la siguiente respuesta:
\[\begin{multline}
y (t) = - \frac{4 \tau \zeta \cos{\left(2 t \right)}}{16 \tau^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} + 1}\\ + \left(- \frac{4 \tau^{2}}{16 \tau^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} + 1} + \frac{1}{16 \tau^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} + 1}\right) \sin{\left(2 t \right)}
\end{multline}\]
Operando y aplicando la propiedad trigonométrica:
\[x \sin \alpha + y \cos \alpha = z \sin (\alpha + \varphi)\]
donde \(z^2 = x^2 + y^2\) y \(\varphi = \mathrm{atan} (y / x)\) y sabiendo que:
\[\left\{\begin{array}{l} x = - \frac{8 \tau^2 - 2}{2 (16 \tau^2 \zeta^2 + 16 \tau^4 - 8 \tau^2 + 1)}\\ y = \frac{4 \tau \zeta}{16 \tau^2 \zeta^2 + 16 \tau^4 - 8 \tau^2 + 1} \end{array}\right.\]
se obtiene:
\[y (t) = \frac{1}{\sqrt{16 \tau^2 \zeta^2 + 16 \tau^4 - 8 \tau^2 + 1}} \sin \left( 2 t + \mathrm{atan} \left( - \frac{8 \tau \zeta}{8 \tau^2 - 2} \right) \right)\]
Se comprueba que se trata, tal como dice el problema, de:
Una función sinusoidal
La amplitud es \(\frac{1}{\sqrt{(1 - 4 \tau^2)^2 + (4 \zeta \tau)^2}} = \frac{1}{\sqrt{16 \tau^2 \zeta^2 + 16 \tau^4 - 8 \tau^2 + 1}}\)
El desfase es \(\varphi = \mathrm{atan} \left( - \frac{4 \tau \zeta}{4 \tau^2 - 1} \right)\)
Función de transferencia
La función de transferencia del sistema propuesto por el problema es:
\[G = \frac{y (s)}{m (s)} = \frac{1}{\tau^2 s + 2 \zeta \tau s + 1}\]
La entrada a este sistema es \(m (t) = 1 \sin 2 t\), realizando la transformada de Laplace
\[m (s) = \frac{2}{s^2 + 4}\]
La respuesta del sistema será:
\[y (t) =\mathcal{L}^{- 1} (G m (s)) =\mathcal{L}^{- 1} \left( \frac{1}{\tau^2 s + 2 \zeta \tau s + 1} \frac{2}{s^2 + 4} \right)\]
Realizando el cálculo para un sistema sobreamortiguado se obtiene:
G = 1/(T^2*s + 2z*T*s +1)
m = 2/(s^2+4)
sol_b = sympy.inverse_laplace_transform(G*m, s, t)\(2 \left(\frac{\left(- \tau^{2} - 2 \tau \zeta\right) \cos{\left(2 t \right)}}{4 \tau^{4} + 16 \tau^{3} \zeta + 16 \tau^{2} \zeta^{2} + 1} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2 \cdot \left(4 \tau^{4} + 16 \tau^{3} \zeta + 16 \tau^{2} \zeta^{2} + 1\right)}\right) \theta\left(t\right) + \frac{2 \left(\tau^{4} + 4 \tau^{3} \zeta + 4 \tau^{2} \zeta^{2}\right) e^{- \frac{t \left(4 \tau^{4} + 16 \tau^{3} \zeta + 16 \tau^{2} \zeta^{2} + 1\right)}{4 \tau^{6} + 24 \tau^{5} \zeta + 48 \tau^{4} \zeta^{2} + 32 \tau^{3} \zeta^{3} + \tau^{2} + 2 \tau \zeta}} \theta\left(t\right)}{4 \tau^{6} + 24 \tau^{5} \zeta + 48 \tau^{4} \zeta^{2} + 32 \tau^{3} \zeta^{3} + \tau^{2} + 2 \tau \zeta}\)
sol_b = simplify(sol)\(\frac{\left(\tau \left(16 \tau^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} + 1\right) \left(- 4 \tau^{2} \zeta + 4 \tau^{2} \sqrt{\zeta^{2} - 1} - 4 \zeta^{3} + 4 \zeta^{2} \sqrt{\zeta^{2} - 1} + 3 \zeta - \sqrt{\zeta^{2} - 1}\right) \left(64 \tau^{4} \zeta^{4} - 64 \tau^{4} \zeta^{3} \sqrt{\zeta^{2} - 1} - 80 \tau^{4} \zeta^{2} + 48 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta^{2} - 1} + 16 \tau^{4} + 64 \tau^{2} \zeta^{6} - 64 \tau^{2} \zeta^{5} \sqrt{\zeta^{2} - 1} - 112 \tau^{2} \zeta^{4} + 80 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta^{2} - 1} + 56 \tau^{2} \zeta^{2} - 24 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta^{2} - 1} - 8 \tau^{2} + 4 \zeta^{4} - 4 \zeta^{3} \sqrt{\zeta^{2} - 1} - 5 \zeta^{2} + 3 \zeta \sqrt{\zeta^{2} - 1} + 1\right) e^{\frac{t \left(\zeta - \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}\right)}{\tau}} + \tau \left(16 \tau^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} + 1\right) \left(- 16 \tau^{2} \zeta^{3} + 16 \tau^{2} \zeta^{2} \sqrt{\zeta^{2} - 1} + 12 \tau^{2} \zeta - 4 \tau^{2} \sqrt{\zeta^{2} - 1} - \zeta + \sqrt{\zeta^{2} - 1}\right) \left(- 16 \tau^{4} \zeta^{2} + 16 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta^{2} - 1} + 16 \tau^{4} - 16 \tau^{2} \zeta^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta^{2} - 1} + 24 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta^{2} - 1} - 8 \tau^{2} - \zeta^{2} + \zeta \sqrt{\zeta^{2} - 1} + 1\right) e^{\frac{t \left(\zeta + \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}\right)}{\tau}} + \left(- 4 \tau^{2} \sin{\left(2 t \right)} - 4 \tau \zeta \cos{\left(2 t \right)} + \sin{\left(2 t \right)}\right) \left(- 16 \tau^{4} \zeta^{2} + 16 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta^{2} - 1} + 16 \tau^{4} - 16 \tau^{2} \zeta^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta^{2} - 1} + 24 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta^{2} - 1} - 8 \tau^{2} - \zeta^{2} + \zeta \sqrt{\zeta^{2} - 1} + 1\right) \left(64 \tau^{4} \zeta^{4} - 64 \tau^{4} \zeta^{3} \sqrt{\zeta^{2} - 1} - 80 \tau^{4} \zeta^{2} + 48 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta^{2} - 1} + 16 \tau^{4} + 64 \tau^{2} \zeta^{6} - 64 \tau^{2} \zeta^{5} \sqrt{\zeta^{2} - 1} - 112 \tau^{2} \zeta^{4} + 80 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta^{2} - 1} + 56 \tau^{2} \zeta^{2} - 24 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta^{2} - 1} - 8 \tau^{2} + 4 \zeta^{4} - 4 \zeta^{3} \sqrt{\zeta^{2} - 1} - 5 \zeta^{2} + 3 \zeta \sqrt{\zeta^{2} - 1} + 1\right) e^{\frac{2 t \zeta}{\tau}}\right) e^{- \frac{2 t \zeta}{\tau}}}{\left(16 \tau^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} + 1\right) \left(- 16 \tau^{4} \zeta^{2} + 16 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 16 \tau^{4} - 16 \tau^{2} \zeta^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 24 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 8 \tau^{2} - \zeta^{2} + \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 1\right) \left(64 \tau^{4} \zeta^{4} - 64 \tau^{4} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 80 \tau^{4} \zeta^{2} + 48 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 16 \tau^{4} + 64 \tau^{2} \zeta^{6} - 64 \tau^{2} \zeta^{5} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 112 \tau^{2} \zeta^{4} + 80 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 56 \tau^{2} \zeta^{2} - 24 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 8 \tau^{2} + 4 \zeta^{4} - 4 \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 5 \zeta^{2} + 3 \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 1\right)}\)
sol_b = collect(sol, sin(2t))\(- \frac{4 \tau \zeta \cos{\left(2 t \right)}}{16 \tau^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} + 1} + \left(- \frac{4 \tau^{2}}{16 \tau^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} + 1} + \frac{1}{16 \tau^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} + 1}\right) \sin{\left(2 t \right)} + \left(- \frac{4 \tau^{3} \zeta}{- 16 \tau^{4} \zeta^{2} + 16 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 16 \tau^{4} - 16 \tau^{2} \zeta^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 24 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 8 \tau^{2} - \zeta^{2} + \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 1} + \frac{4 \tau^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}}{- 16 \tau^{4} \zeta^{2} + 16 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 16 \tau^{4} - 16 \tau^{2} \zeta^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 24 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 8 \tau^{2} - \zeta^{2} + \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 1} - \frac{4 \tau \zeta^{3}}{- 16 \tau^{4} \zeta^{2} + 16 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 16 \tau^{4} - 16 \tau^{2} \zeta^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 24 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 8 \tau^{2} - \zeta^{2} + \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 1} + \frac{4 \tau \zeta^{2} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}}{- 16 \tau^{4} \zeta^{2} + 16 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 16 \tau^{4} - 16 \tau^{2} \zeta^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 24 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 8 \tau^{2} - \zeta^{2} + \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 1} + \frac{3 \tau \zeta}{- 16 \tau^{4} \zeta^{2} + 16 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 16 \tau^{4} - 16 \tau^{2} \zeta^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 24 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 8 \tau^{2} - \zeta^{2} + \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 1} - \frac{\tau \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}}{- 16 \tau^{4} \zeta^{2} + 16 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 16 \tau^{4} - 16 \tau^{2} \zeta^{4} + 16 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 24 \tau^{2} \zeta^{2} - 8 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 8 \tau^{2} - \zeta^{2} + \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 1}\right) e^{- \frac{t \left(\zeta + \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}\right)}{\tau}} + \left(\frac{16 \tau^{3} \zeta^{3}}{- 64 \tau^{4} \zeta^{4} + 64 \tau^{4} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 80 \tau^{4} \zeta^{2} - 48 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 16 \tau^{4} - 64 \tau^{2} \zeta^{6} + 64 \tau^{2} \zeta^{5} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 112 \tau^{2} \zeta^{4} - 80 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 56 \tau^{2} \zeta^{2} + 24 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 8 \tau^{2} - 4 \zeta^{4} + 4 \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 5 \zeta^{2} - 3 \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 1} - \frac{16 \tau^{3} \zeta^{2} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}}{- 64 \tau^{4} \zeta^{4} + 64 \tau^{4} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 80 \tau^{4} \zeta^{2} - 48 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 16 \tau^{4} - 64 \tau^{2} \zeta^{6} + 64 \tau^{2} \zeta^{5} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 112 \tau^{2} \zeta^{4} - 80 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 56 \tau^{2} \zeta^{2} + 24 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 8 \tau^{2} - 4 \zeta^{4} + 4 \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 5 \zeta^{2} - 3 \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 1} - \frac{12 \tau^{3} \zeta}{- 64 \tau^{4} \zeta^{4} + 64 \tau^{4} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 80 \tau^{4} \zeta^{2} - 48 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 16 \tau^{4} - 64 \tau^{2} \zeta^{6} + 64 \tau^{2} \zeta^{5} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 112 \tau^{2} \zeta^{4} - 80 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 56 \tau^{2} \zeta^{2} + 24 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 8 \tau^{2} - 4 \zeta^{4} + 4 \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 5 \zeta^{2} - 3 \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 1} + \frac{4 \tau^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}}{- 64 \tau^{4} \zeta^{4} + 64 \tau^{4} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 80 \tau^{4} \zeta^{2} - 48 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 16 \tau^{4} - 64 \tau^{2} \zeta^{6} + 64 \tau^{2} \zeta^{5} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 112 \tau^{2} \zeta^{4} - 80 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 56 \tau^{2} \zeta^{2} + 24 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 8 \tau^{2} - 4 \zeta^{4} + 4 \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 5 \zeta^{2} - 3 \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 1} + \frac{\tau \zeta}{- 64 \tau^{4} \zeta^{4} + 64 \tau^{4} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 80 \tau^{4} \zeta^{2} - 48 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 16 \tau^{4} - 64 \tau^{2} \zeta^{6} + 64 \tau^{2} \zeta^{5} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 112 \tau^{2} \zeta^{4} - 80 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 56 \tau^{2} \zeta^{2} + 24 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 8 \tau^{2} - 4 \zeta^{4} + 4 \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 5 \zeta^{2} - 3 \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 1} - \frac{\tau \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}}{- 64 \tau^{4} \zeta^{4} + 64 \tau^{4} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 80 \tau^{4} \zeta^{2} - 48 \tau^{4} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 16 \tau^{4} - 64 \tau^{2} \zeta^{6} + 64 \tau^{2} \zeta^{5} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 112 \tau^{2} \zeta^{4} - 80 \tau^{2} \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 56 \tau^{2} \zeta^{2} + 24 \tau^{2} \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 8 \tau^{2} - 4 \zeta^{4} + 4 \zeta^{3} \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} + 5 \zeta^{2} - 3 \zeta \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1} - 1}\right) e^{\frac{t \left(- \zeta + \sqrt{\zeta - 1} \sqrt{\zeta + 1}\right)}{\tau}}\)
Con paciencia, se puede comprobar que se obtiene el mismo resultado que resolviendo la ecuación diferencial.