Planes de aceptación unilaterales por variables con Julia, R y hoja de cálculo

Vamos a ver como se calcula el tamaño de muestra \(n\) y el criterio de aceptación \(k\) de un plan de muestreo de aceptación por variables. Vamos a utilizar el procedimiento 1 o k, es decir, nos enfrentamos a una situación en la que tenemos un límite unilateral de especificaciones, ya sea superior o inferior. Se puede encontrar la base teórica en Schilling y Neubauer (2009).

Base teórica

El tamaño de muestra y el criterio de aceptación dependen de los riesgos del productor y del comprador. El riesgo del productor viene caracterizado por el nivel de calidad aceptable (NCA) o \(p_1\), que es la fracción de unidades no conformes (\(p\)) con una probabilidad de rechazo \(\alpha\). En cambio, el riesgo del comprador es un punto con una fracción de unidades no conformes \(p_2\) o calidad límite asociada a una probabilidad de aceptación \(\beta\).

Distinguiremos dos situaciones:

1. La desviación estándar (\(\sigma\)) histórica de la muestra es conocida: \[\begin{align} k &= \frac{z_{p_2} z_\alpha+z_{p_1}z_\beta}{z_\alpha+z_\beta}\\ n &= \left\lceil \left(\frac{z_\alpha+z_\beta}{z_{p_1}-z_{p_2}} \right)^2 \right\rceil \end{align} \tag{1}\]

2. La desviación estándar histórica de la muestra es desconocida: El cálculo de \(k\) es el mismo, y el tamaño de muestra lo podemos calcular con la aproximación de Wallis: \[\begin{align} k &= \frac{z_{p_2} z_\alpha+z_{p_1}z_\beta}{z_\alpha+z_\beta}\\ n &= \left\lceil \left(\frac{z_\alpha+z_\beta}{z_{p_1}-z_{p_2}} \right)^2 \left( 1+ \frac{k^2}{2} \right)\right\rceil \end{align} \tag{2}\]

Nota

La función \(z_x\) es la función cuantil, también conocida como la inversa de la función de distribución:

\[\Phi^{-1}(p) = \sqrt2 \;\operatorname{erf}^{-1} (2p - 1), \quad p\in(0,1)\]

A continuación veremos como se calcula esta función con una función de distribución normal estándar (\(\mu\) = 0 y \(\sigma\) = 1) con Julia, R y Excel/LibreOffice.

Nota

El símbolo \(\lceil\ \rceil\) indica que hay que tomar el número entero superior. Por ejemplo, \(\lceil 12.3 \rceil = 12\).

La aplicación del criterio de aceptación consiste en calcular:

\[Z = \frac{\bar{X}-L}{\sigma}\]

donde \(\bar{X}\) es el valor medio del parámetro de calidad de las unidades de nuestra muestra y \(L\) es el límite inferior de especificaciones.

En el caso de que tengamos un límite superior de especificaciones (\(U\)) el cálculo es:

\[Z = \frac{U-\bar{X}}{\sigma}\]

La muestra se acepta si se cumple la condición:

\[Z \ge k\]

y se rechaza si:

\[Z < k\]

En el caso de que no se conozca la desviación estándar histórica, se utilizará la de la muestra.

Cálculo con Julia

Para realizar el cálculo de la función cuantil utilizaremos el paquete Distributions.jl. Lo más sencillo es definir una función z(x) que calcule el cuantil:

using Distributions

z(x) = cquantile(Normal(),x)

z (generic function with 1 method)

Ejemplo

Seleccionar \(n\) y \(k\) para un plan de muestreo por variables que ofrezca el siguiente nivel de protección:

• \(p_1 = 0.02\) y \(\alpha = 0.95\)
• \(p_2 = 0.06\) y \(\beta = 0.010\)

\(\sigma\) histórica conocida

Utilizando la Ecuación 1 es sencillo realizar este cálculo. El criterio de aceptación es:

p₁ = 0.02
α = 0.05
p₂ = 0.06
β = 0.10

k = (z(p₂)*z(α)+z(p₁)*z(β))/(z(α)+z(β))

1.773288309877038

Ya solo queda calcular el tamaño de muestra:

n = ceil(((z(α)+z(β))/(z(p₁)-z(p₂)))^2)

35.0

\(\sigma\) histórica desconocida

El criterio de aceptación es el mismo que calculado más arriba, por lo que solo hay que calcular el tamaño de muestra usando la aproximación de Wallis (Ecuación 2):

n = ceil(((z(α)+z(β))/(z(p₁)-z(p₂)))^2*(1+k^2/2))

89.0

Cálculo con R

En R procederemos de la misma manera, definiremos una función ‘z’ para calcular el cuantil. Utilizaremos ‘lower.tail=FALSE’ para obtener un resultado positivo.

z <- function(x){qnorm(x, lower.tail = FALSE)}

El cálculo del criterio de aceptación con \(\sigma\) conocida es similar al que hemos realizado antes con Julia:

p1 <- 0.02
alpha <- 0.05
p2 <- 0.06
beta <- 0.10

k <- (z(p2)*z(alpha)+z(p1)*z(beta))/(z(alpha)+z(beta))

[1] 1.773288

El tamaño de muestra se calcula igual que hemos hecho antes con Julia:

n <- ceiling(((z(alpha)+z(beta))/(z(p1)-z(p2)))^2)

[1] 35

Aunque podemos realizar los cálculos de esta manera, puede ser más cómodo recurrir a la biblioteca AcceptanceSampling. Se puede encontrar mucha información sobre la báse teórica de los planes de muestreo de aceptación y de su aplicación con R en el libro gratuito de Lawson (2021).

Cálculo con hojas de cálculo

En las principales hojas de cálculo (Excel, LibreOffice y Numbers), el cálculo de la función distribución normal inversa se realiza con la misma función: =ABS(DISTR.NORM.ESTAND.INV(B1)). En lo único que debemos fijarnos es que hay que tomar el valor absoluto para obtener un valor positivo.

Bibliografía

Lawson, John. 2021. An Introduction to Acceptance Sampling and SPC with R. First edition. Boca Raton London New York: CRC Press, Taylor and Francis Group. https://bookdown.org/lawson/an_introduction_to_acceptance_sampling_and_spc_with_r26/.

Schilling, Edward G., y Dean V. Neubauer. 2009. Acceptance Sampling in Quality Control. 2.ª ed. Chapman and Hall/CRC. https://doi.org/10.1201/9781584889533.