Seminario 4. Control estadístico de procesos

Fecha de modificación

2 de abril de 2024

Archivo Excel con los datos de los problemas

Ejercicio 1 Una pequeña fábrica de conservas termina de instalar una nueva envasadora para llenar latas de 250 gramos de alcachofas en conserva. Durante los primeros días están efectuando muestreos de cuatro latas cada dos horas de proceso.

El valor de los pesos de las latas muestreadas se encuentra en la tabla siguiente:

X1 X2 X3 X4
254 252 258 259
249 255 241 258
243 240 246 240
253 260 255 264
260 258 269 268
259 262 260 261
247 244 261 255
244 243 249 250
251 250 245 253
252 253 255 249
255 258 254 257
250 253 250 254
252 255 253 255
255 254 259 251
249 258 254 250
250 252 252 254
248 255 251 255
254 254 259 256
255 251 260 251
252 258 249 257
255 254 254 250
250 250 251 257
252 251 250 251
254 254 257 256

Calcular el valor \(\sf \bar{X}\) para cada muestreo, el recorrido R, la \(\sf \bar{\bar{X}}\) y el \(\sf \bar{R}\) y con estos datos representar el correspondiente gráfico de control.

Una vez representado interpretar que es lo que está ocurriendo en el proceso.

Solución.

Gráfico X̄

En primer lugar calculamos los valores medios y el recorrido de cada punto:

submuestra X₁ X₂ X₃ X₄ X̄ R
1.0 254.0 252.0 258.0 259.0 255.75 7.0
2.0 249.0 255.0 241.0 258.0 250.75 17.0
3.0 243.0 240.0 246.0 240.0 242.25 6.0
4.0 253.0 260.0 255.0 264.0 258.0 11.0
5.0 260.0 258.0 269.0 268.0 263.75 11.0
6.0 259.0 262.0 260.0 261.0 260.5 3.0
7.0 247.0 244.0 261.0 255.0 251.75 17.0
8.0 244.0 243.0 249.0 250.0 246.5 7.0
9.0 251.0 250.0 245.0 253.0 249.75 8.0
10.0 252.0 253.0 255.0 249.0 252.25 6.0
11.0 255.0 258.0 254.0 257.0 256.0 4.0
12.0 250.0 253.0 250.0 254.0 251.75 4.0
13.0 252.0 255.0 253.0 255.0 253.75 3.0
14.0 255.0 254.0 259.0 251.0 254.75 8.0
15.0 249.0 258.0 254.0 250.0 252.75 9.0
16.0 250.0 252.0 252.0 254.0 252.0 4.0
17.0 248.0 255.0 251.0 255.0 252.25 7.0
18.0 254.0 254.0 259.0 256.0 255.75 5.0
19.0 255.0 251.0 260.0 251.0 254.25 9.0
20.0 252.0 258.0 249.0 257.0 254.0 9.0
21.0 255.0 254.0 254.0 250.0 253.25 5.0
22.0 250.0 250.0 251.0 257.0 252.0 7.0
23.0 252.0 251.0 250.0 251.0 251.0 2.0
24.0 254.0 254.0 257.0 256.0 255.25 3.0

La posición de la línea central (LC) es \(\sf \bar{\bar{X}}\) = 253.

El recorrido medio es \(\sf \bar{R}\) = 7.17.

Como el tamaño de muestra es \(\sf n=4\), el parámetro \(\sf A_2\) toma el valor 0.729. Por lo tanto los límites de control son:

\(LIC = LC - A_{2} \cdot \textnormal{\={R}} = 248\)

\(LSC = LC + A_{2} \cdot \textnormal{\={R}} = 259\)

El gráfico de control queda:

Gráfico R

En este caso los parámetros a utilizar para calcular los límites de control son \(\sf D_3 = 0\) y \(\sf D_4 = 2.282\). Los límites de control son:

\(LC = \textnormal{\={R}} = 7.2\)

\(LIC = D_{3} \cdot \textnormal{\={R}} = 0.0\)

\(LSC = D_{4} \cdot \textnormal{\={R}} = 16.4\)

El gráfico de control queda así:

Ejercicio 2 Dibujar e interpretar el diagrama de control del calibrado de espárragos en una industria conservera:

Turno Espárragos analizados Fuera de calibre
1 992 153
2 989 196
3 995 129
4 907 129
5 842 136
6 862 117
7 990 130
8 973 186
9 917 149
10 893 134
11 989 153
12 961 199
13 892 174
14 849 187
15 851 150
16 902 166
17 865 184
18 917 192
19 965 125
20 959 185
21 838 134
22 969 146
23 966 173
24 820 186
25 983 101
26 854 154
27 984 161
28 915 112
29 923 104
30 899 118
31 825 176
32 908 118
33 939 127
34 874 144
35 986 124
36 880 175
37 860 132
38 939 131
39 953 125
40 952 101
41 832 127
42 892 165
43 975 114
44 962 112
45 943 164
46 999 106
47 982 161
48 892 128

Solución. En este caso el parámetro de calidad (espárragos fuera de calibre) es un atributo, unidades no conformes y el tamaño de muestra (espárragos analizados) es variable. Por lo tanto el gráfico de control a utilizar es un p.

Al tratarse de un gráfico p, representaremos la fracción de unidades no conformes.

turno n d p
1.0 992.0 153.0 0.154234
2.0 989.0 196.0 0.19818
3.0 995.0 129.0 0.129648
4.0 907.0 129.0 0.142227
5.0 842.0 136.0 0.16152
6.0 862.0 117.0 0.135731
7.0 990.0 130.0 0.131313
8.0 973.0 186.0 0.191161
9.0 917.0 149.0 0.162486
10.0 893.0 134.0 0.150056
11.0 989.0 153.0 0.154702
12.0 961.0 199.0 0.207076
13.0 892.0 174.0 0.195067
14.0 849.0 187.0 0.220259
15.0 851.0 150.0 0.176263
16.0 902.0 166.0 0.184035
17.0 865.0 184.0 0.212717
18.0 917.0 192.0 0.209378
19.0 965.0 125.0 0.129534
20.0 959.0 185.0 0.192909
21.0 838.0 134.0 0.159905
22.0 969.0 146.0 0.150671
23.0 966.0 173.0 0.179089
24.0 820.0 186.0 0.226829
25.0 983.0 101.0 0.102747
26.0 854.0 154.0 0.180328
27.0 984.0 161.0 0.163618
28.0 915.0 112.0 0.122404
29.0 923.0 104.0 0.112676
30.0 899.0 118.0 0.131257
31.0 825.0 176.0 0.213333
32.0 908.0 118.0 0.129956
33.0 939.0 127.0 0.13525
34.0 874.0 144.0 0.16476
35.0 986.0 124.0 0.125761
36.0 880.0 175.0 0.198864
37.0 860.0 132.0 0.153488
38.0 939.0 131.0 0.13951
39.0 953.0 125.0 0.131165
40.0 952.0 101.0 0.106092
41.0 832.0 127.0 0.152644
42.0 892.0 165.0 0.184978
43.0 975.0 114.0 0.116923
44.0 962.0 112.0 0.116424
45.0 943.0 164.0 0.173913
46.0 999.0 106.0 0.106106
47.0 982.0 161.0 0.163951
48.0 892.0 128.0 0.143498

El tamaño de muestra medio \(\sf \bar{n}\) es 922.0.

A continuación calculamos la posición de la línea central (\(\bar{p}\)) y de los límites de control:

\(\textnormal{\={p}} = \frac{\sum d}{\sum n} = 0.16\)

\(LCS = \textnormal{\={p}} + 3 \cdot \sqrt{\frac{\textnormal{\={p}} \cdot \left( 1 - \textnormal{\={p}} \right)}{\textnormal{\={n}}}} = 0.19\)

\(LCI = \textnormal{\={p}} - 3 \cdot \sqrt{\frac{\textnormal{\={p}} \cdot \left( 1 - \textnormal{\={p}} \right)}{\textnormal{\={n}}}} = 0.12\)

El gráfico queda así:

Ejercicio 3 Dibujar e interpretar el diagrama de control en el que se cuentan los fragmentos de hueso en melocotón en almíbar:

Día Melocotones analizados Fragmentos de hueso
1 96 6
2 74 8
3 84 7
4 69 6
5 65 5
6 64 5
7 81 11
8 65 7
9 70 11
10 83 13
11 74 11
12 67 7
13 84 5
14 71 10
15 63 6
16 91 6
17 67 6
18 99 7
19 61 5
20 70 7
21 67 9
22 89 10
23 68 6
24 93 5
25 91 6
26 79 7
27 99 12
28 76 13
29 85 6
30 83 12
31 70 6

Solución. Se trata de un atributo que es un defecto (fragmentos de hueso, \(\sf c\)) y tenemos un tamaño de muestra variable (melocotones analizados, \(\sf n\)), por lo que el gráfico a utilizar será un u.

Empezamos calculando los valores de u:

Día n c u
1.0 96.0 6.0 0.0625
2.0 74.0 8.0 0.108
3.0 84.0 7.0 0.0833
4.0 69.0 6.0 0.087
5.0 65.0 5.0 0.0769
6.0 64.0 5.0 0.0781
7.0 81.0 11.0 0.136
8.0 65.0 7.0 0.108
9.0 70.0 11.0 0.157
10.0 83.0 13.0 0.157
11.0 74.0 11.0 0.149
12.0 67.0 7.0 0.104
13.0 84.0 5.0 0.0595
14.0 71.0 10.0 0.141
15.0 63.0 6.0 0.0952
16.0 91.0 6.0 0.0659
17.0 67.0 6.0 0.0896
18.0 99.0 7.0 0.0707
19.0 61.0 5.0 0.082
20.0 70.0 7.0 0.1
21.0 67.0 9.0 0.134
22.0 89.0 10.0 0.112
23.0 68.0 6.0 0.0882
24.0 93.0 5.0 0.0538
25.0 91.0 6.0 0.0659
26.0 79.0 7.0 0.0886
27.0 99.0 12.0 0.121
28.0 76.0 13.0 0.171
29.0 85.0 6.0 0.0706
30.0 83.0 12.0 0.145
31.0 70.0 6.0 0.0857

El tamaño de muestra medio \(\sf \bar{n}\) es 77.4.

La posición de la línea central es:

\(\textnormal{\={u}} = \frac{\sum c}{\sum n} = 0.101\)

Los límites de control se encuentran en:

\(LCI = \textnormal{\={u}} - 3 \cdot \sqrt{\frac{\textnormal{\={u}}}{\textnormal{\={n}}}} = -0.0076\)

\(LCS = \textnormal{\={u}} + 3 \cdot \sqrt{\frac{\textnormal{\={u}}}{\textnormal{\={n}}}} = 0.21\)

Como no tiene sentido tener un número de defectos por unidad negativo, tomaremos LCI = 0.

El gráfico queda así:

Ejercicio 4 Dibujar e interpretar el diagrama de control del cierre de bandejas de platos preparados. En la tabla se da el número de unidades no conformes cada lote de 200 unidades:

Lote Unidades no conformes
1 11
2 12
3 11
4 11
5 9
6 9
7 19
8 14
9 10
10 9
11 8
12 6
13 2
14 12
15 10
16 3
17 5
18 10
19 10
20 14
21 15
22 22
23 7
24 11
25 10
26 3
27 15
28 13
29 8
30 9
31 10
32 14
33 15
34 16
35 13
36 14
37 15
38 16
39 15

Solución. El parámetro de calidad es un atributo, unidades no conformes con un tamaño de muestra constante, utilizaremos un gráfico de control np.

El número de unidades no conformes de cada muestra es \(\sf np\).

En primer lugar calculamos \(\sf \bar{p}\):

\(\textnormal{\={p}} = \frac{\sum np}{n \cdot N} = 0.0559\)

donde \(\sf n\) es el tamaño de muestra (200 unidades) y \(\sf N\) es el número de grupos lógicos (39).

La posición de la línea central y de los límites de control es:

\(LC = n \cdot \textnormal{\={p}} = 11.2\)

\(LCI = n \cdot \textnormal{\={p}} - 3 \cdot \sqrt{n \cdot \textnormal{\={p}} \cdot \left( 1 - \textnormal{\={p}} \right)} = 1.43\)

\(LCS = n \cdot \textnormal{\={p}} + 3 \cdot \sqrt{n \cdot \textnormal{\={p}} \cdot \left( 1 - \textnormal{\={p}} \right)} = 20.9\)

El gráfico queda así:

Ejercicio 5 El tiempo requerido para reembolsar los gastos de viaje de un empleado se puede utilizar como característica para describir el rendimiento de un proceso. La tabla siguiente muestra los días requeridos para las justificaciones de viaje de 30 empleados seleccionados al azar. Estimar los límites de especificaciones para una relación de capacidad del proceso de 1.4.

5 5 16 17 14 12
8 13 6 12 11 10
18 18 13 12 19 14
17 16 11 22 13 16
10 18 12 12 12 14

( Montgomery (2009) )

Solución.

Calculamos la media de la variable, µ = 13.2, y su desviación estándar, σ = 4.1.

Podemos representar el histograma junto con la distribución normal obtenida:

En este caso el límite de especificaciones que nos interesará es el límite superior (LSE), ya que no hay ningún problema si el número de días es tan bajo como cero.

Para un límite unilateral, la relación de capacidad del proceso es \(RCP = \frac{LSE -\mu}{3\sigma}\), lo que supone que el límite superior de especificaciones es:

\(LSE = \mu + RCP \cdot 3 \cdot \sigma = 30\)

Ejercicio 6 Las especificaciones para una pieza son 600 ± 20. Se utilizan para la pieza diagramas de X-barra y R que han estado bajo control durante un largo tiempo. Los parámetros de estos diagramas de control son (n = 9):

Diagrama de X-barra   Diagrama de R
LSC = 616   LSC = 32.36
Línea central = 610   Línea central = 17.82
LIC = 604   LIC = 3.28

¿Cuáles son las conclusiones respecto a la idoneidad del proceso para producir artículos que satisfagan las especificaciones?

Solución.

Diagrama X̄

En primer lugar vamos a representar los datos que nos proporciona el problema:

Comprobamos que hay varios problemas:

  • las especificaciones y los límites de control no están centrados. Mientras el centro de las especificaciones se encuentra en 600, la posición de la línea central está en 610,
  • se observa que existe una distancia excesiva entre el límite de control inferior y el límite inferior de especificaciones,
  • a simple vista se ve que la anchura de los límites de especificaciones es excesiva para la variabilidad del proceso.

Podemos comprobar los puntos anteriores calculando la relación de capacidad del proceso. El valor de σ lo podemos calcular a partir del recorrido medio, ya que:

\[\sf 3σ = A_2 \bar{R}\]

Como n es 9, el valor de A2 es 0.34, lo que supone que:

\(\sigma = \frac{17.82 \cdot 0.34}{3} = 2.0196\)

Si consideramos la relación para los límites bilaterales:

\(C_{p} = \frac{LSE - LIE}{3 \cdot \sigma} = 6.6\)

Se comprueba que es un valor bastante más elevado de los valores mínimos recomendados.

Si consideramos la relación de capacidad del proceso para el límite superior:

\(C_{pu} = \frac{LSE - LC}{3 \cdot \sigma} = 1.65\)

En este caso parece un valor razonable.

Respecto al límite inferior:

\(C_{pl} = \frac{LC - LIE}{3 \cdot \sigma} = 4.95\)

El valor obtenido claramente es excesivo.

Se pueden plantear dos recomendaciones:

  1. Realizar los ajustes de proceso necesarios para que la posición de la linea central coincida con el centro de las especificaciones.
  2. Recalcular los límites de especificaciones teniendo en cuenta la relación de capacidad de proceso que se plantee como objetivo.

Diagrama R

Nuevamente representamos la información que nos proporciona el problema:

En este caso, no se ven los problemas que aparecían en el diagrama anterior.

Podemos calcular las diferentes relaciones de capacidad del proceso para asegurarnos de que todo es correcto:

  • límites bilaterales:

\(RCP = \frac{LSE - LIE}{LSC - LIC} = 1.38\)

  • límite superior:

\(RCP = \frac{LSE - LC}{LSC - LC} = 1.53\)

  • límite inferior:

\(RCP = \frac{LC - LIE}{LSC - LC} = 1.23\)

Vemos que aparecen unos valores más razonables que los obtenidos para el diagrama X̄.

Referencias

Montgomery, Douglas, C. 2009. Introduction to Statistical Quality Control, Sixth Edition. John Wiley & Sons.