Seminario 3. Muestreo

Material útil para realizar los ejercicios

• Paquete de R AcceptanceSampling

• Libro An Introduction to Acceptance Sampling and SPC with R de Lawson (2021)

Ejercicio 1 Construir la curva CO para los siguiente planes de muestreo e interpretar los resultados para α = 5 % y β = 10%:

1. n = 300, c = 5, función binomial
2. n = 70, c = 2, función de poisson
3. n = 65, c = 1, N = 350, función hipergeométrica
4. n = 23, k = 1.46, función normal

Solución.

a.

p₁ = 0.0087

p₂ = 0.031

b.

p₁ = 0.012

p₂ = 0.076

c.

P_a(d = 2) = 0.966 | P_a(3) = 0.91

p₁ = 0.0057

P_a(d = 19) = 0.101

p₂ = 0.054

d.

p₁ = 0.036

p₂ = 0.12

Ejercicio 2 Diseñar un plan de muestreo simple para un control de proceso de tal forma que si la fracción de envases deficientes es del 1 %, la probabilidad de aceptar sea del 95 % y si los envases deficientes representan el 8 %, la probabilidad de aceptar sea del 5 %. Una vez diseñado el plan, explicar cómo se utilizaría.

Solución.

\(p_{1} = \frac{1}{100} = 0.01\)

\(p_{2} = \frac{8}{100} = 0.08\)

\(R = \frac{p_{2}}{p_{1}} = 8.0\)

• Plan 2S
• Ac = 2
• Re = 3

\(n = \left\lceil \frac{5.322}{p_{2}}\right\rceil = 67.0\)

Ejercicio 3 Repetir el problema anterior para un plan de muestreo doble.

Solución.

• Plan 2D
• Ac = 0 3
• Re = 3 4

\(n_{1} = n_{2} = \left\lceil \frac{3.404}{p_{2}}\right\rceil = 43.0\)

Ejercicio 4 Como responsable de control de calidad de una empresa de golosinas tienes que seleccionar un plan de muestreo para autorizar la distribución de las grageas de chocolate recubiertas de una capa de azúcar coloreado. En la empresa deseáis tener una probabilidad de un 5 % de rechazar un lote que tenga 5 grageas rotas cada 250. El comprador no está dispuesto a aceptar un lote con más de 20 grageas rotas cada 250 unidades, por lo que, en esa situación, planteas una probabilidad de aceptar de un 5 %.

1. Selecciona un plan de muestreo simple, indica el plan, tamaño de muestra y criterio de aceptación del plan.
2. Se inspecciona un lote y se encuentran 2 grageas rotas. ¿Se debería aceptar el lote?

Solución.

a.

\(p_{1} = \frac{5}{250} = 0.02\)

\(p_{2} = \frac{20}{250} = 0.08\)

\(R = \frac{p_{2}}{p_{1}} = 4.0\)

• Plan 5S
• Ac = 5
• Re = 6

\(n = \left\lceil \frac{9.275}{p_{2}}\right\rceil = 116.0\)

b.

Se acepta

Ejercicio 5 En una empresa de elaboración de platos precocinados compran albóndigas a un proveedor. Las albóndigas deben tener un peso mínimo de 40 g. Planteas como objetivo de calidad que tan solo un 0.5 % de las unidades sean disconformes, lo que significa que quieres tener una probabilidad de aceptar un lote de esas características de un 90 %. No estás dispuesto a aceptar lotes con un nivel de calidad de disconformidad superior a un 6%, es decir, quieres una probabilidad de rechazo de un 95% en estos casos.

1. Selecciona un plan de muestreo simple por atributos que proporcione un nivel de protección adecuado. Especifica el tamaño de muestra, criterio de aceptación y explicar su utilización.

2. Repite la pregunta anterior para un plan de muestreo por variables.

Solución.

a.

\(p_{1} = \frac{0.5}{100} = 0.005\)

\(\alpha = 1 - 0.9 = 0.1\)

\(p_{2} = \frac{6}{100} = 0.06\)

\(\beta = 1 - 0.95 = 0.05\)

\(R = \frac{p_{2}}{p_{1}} = 12.0\)

• Plan 1S
• Ac = 1
• Re = 2

\(n = \left\lceil \frac{3.89}{p_{2}}\right\rceil = 65.0\)

b.

Suponiendo que \(\sigma\) sea conocida:

\(k = \frac{z\left( p_{2} \right) \cdot z\left( \alpha \right) + z\left( p_{1} \right) \cdot z\left( \beta \right)}{z\left( \alpha \right) + z\left( \beta \right)} = 2.13\)

\(n = \left\lceil \left( \frac{z\left( \alpha \right) + z\left( \beta \right)}{z\left( p_{1} \right) - z\left( p_{2} \right)} \right)^{2}\right\rceil = 9.0\)

Ejercicio 6 Se requiere que la densidad del tapón de plástico de una botella de refrescos sea por lo menos igual a 0.70 g/cm³. Se reciben las piezas en grandes lotes, y se debe utilizar un plan de muestreo de variables para juzgar los lotes. Se desea que p₁ = 0.02, p₂ = 0.10, α = 0.10 y β = 0.05. Se desconoce la variabilidad del proceso de fabricación, pero será estimada la desviación estándar de la muestra.

1. Obtener un plan adecuado de muestreo por variables, usando el procedimiento 1.

2. Se toma una muestra de tamaño adecuado y x̅ = 0.73, s = 1.05·10⁻². ¿Se tendrá que aceptar o rechazar el lote?

Solución.

a.

\(k = \frac{z\left( p_2 \right) \cdot z\left( \alpha \right) + z\left( p_1 \right) \cdot z\left( \beta \right)}{z\left( \alpha \right) + z\left( \beta \right)} = 1.72\)

\(n = \left\lceil \left( \frac{z\left( \alpha \right) + z\left( \beta \right)}{z\left( p_1 \right) - z\left( p_2 \right)} \right)^{2} \cdot \left( 1 + \frac{k^{2}}{2} \right)\right\rceil = 36.0\)

b.

\(LIE = 0.7\)

\(x̅ = 0.73\)

\(s = 0.0105\)

\(\frac{x̅ - LIE}{s} = 2.86\)

\(\left( \frac{x̅ - LIE}{s} \geq k \right) = true\)

Se acepta.

Ejercicio 7 Repetir el ejercicio anterior utilizando el Procedimiento 2.

Solución.

a.

El tamaño de muestra ya se ha calculado en Ejercicio 6.

El criterio de aceptación es:

M = 0.041

b.

La fracción de unidades no conformes estimada del lote es:

p̂ = 0.0012

Se acepta ya que p̂ < M.

Ejercicio 8 La banda de transmisión que se emplea en el mecanismo de una etiquetadora debe tener una resistencia mínima a la tensión de LIE = 150 N. Se sabe, basándose en una larga experiencia, que σ = 5 N para esta banda en particular. Obtener un plan de muestreo por variables de manera que p₁ = 0.005, p₂ = 0.02, α = 0.05 y β = 0.10. Suponga que hay que utilizar el Procedimiento 1.

Solución.

\(k = \frac{z\left( p_2 \right) \cdot z\left( \alpha \right) + z\left( p_1 \right) \cdot z\left( \beta \right)}{z\left( \alpha \right) + z\left( \beta \right)} = 2.28\)

\(n = \left\lceil \left( \frac{z\left( \alpha \right) + z\left( \beta \right)}{z\left( p_1 \right) - z\left( p_2 \right)} \right)^{2}\right\rceil = 32.0\)

Ejercicio 9 Repetir el ejercicio anterior utilizando el Procedimiento 2.

Solución. El tamaño de muestra es el calculado en Ejercicio 8.

El criterio de aceptación es:

M = 0.0102

Ejercicio 10 Tienes que seleccionar un plan de muestreo para autorizar el envío de los lotes producidos a los clientes. Nuestros estándares de calidad marcan que la fracción de unidades no conformes no debería superar el 2 %. En ese caso la probabilidad de rechazar un lote debería ser de 1 lote de cada 20. En ningún caso se considerará aceptable un lote con más de un 10 % de disconformidades, lotes que planteamos rechazar con una probabilidad de un 90 %.

1. Especificar el plan de muestreo por variables a utilizar sabiendo que la σ histórica es conocida y explicar su uso.
2. Selecciona un plan de muestreo por atributos simple y explica su utilización.

Solución.

a.

\(k = \frac{z\left( p_2 \right) \cdot z\left( \alpha \right) + z\left( p_1 \right) \cdot z\left( \beta \right)}{z\left( \alpha \right) + z\left( \beta \right)} = 1.62\)

\(n = \left\lceil \left( \frac{z\left( \alpha \right) + z\left( \beta \right)}{z\left( p_1 \right) - z\left( p_2 \right)} \right)^{2}\right\rceil = 15.0\)

b.

\(R = \frac{p_2}{p_1} = 5.0\)

• Plan 3S
• Ac = 3
• Re = 4

\(n = \left\lceil \frac{6.681}{p_2}\right\rceil = 67.0\)

Referencias

Lawson, John. 2021. An Introduction to Acceptance Sampling and SPC with R. First edition. Boca Raton London New York: CRC Press, Taylor and Francis Group. https://bookdown.org/lawson/an_introduction_to_acceptance_sampling_and_spc_with_r26/.