Problemas de control estadístico de procesos

Fecha de publicación

4 de abril de 2024

Problema 1

Un fabricante de refrescos mide el volumen de llenado de las botellas comparando la distancia entre la boca de la botella y la superficie del líquido en las botellas con una escala codificada. En esta escala, un valor de cero supone un nivel de llenado correcto. Se han analizado quince muestras con \(n= 10\) y los resultados se muestras en la tabla siguiente:

Muestra x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
1 2.5 0.5 2.0 −1.0 1.0 −1.0 0.5 1.5 0.5 −1.5
2 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 1.0 −1.0 1.0 1.5 −1.0
3 1.5 1.0 1.0 −1.0 0.0 −1.5 −1.0 −1.0 1.0 −1.0
4 0.0 0.5 −2.0 0.0 −1.0 1.5 −1.5 0.0 −2.0 −1.5
5 0.0 0.0 0.0 −0.5 0.5 1.0 −0.5 −0.5 0.0 0.0
6 1.0 −0.5 0.0 0.0 0.0 0.5 −1.0 1.0 −2.0 1.0
7 1.0 −1.0 −1.0 −1.0 0.0 1.5 0.0 1.0 0.0 0.0
8 0.0 −1.5 −0.5 1.5 0.0 0.0 0.0 −1.0 0.5 −0.5
9 −2.0 −1.5 1.5 1.5 0.0 0.0 0.5 1.0 0.0 1.0
10 −0.5 3.5 0.0 −1.0 −1.5 −1.5 −1.0 −1.0 1.0 0.5
11 0.0 1.5 0.0 0.0 2.0 −1.5 0.5 −0.5 2.0 −1.0
12 0.0 −2.0 −0.5 0.0 −0.5 2.0 1.5 0.0 0.5 −1.0
13 −1.0 −0.5 −0.5 −1.0 0.0 0.5 0.5 −1.5 −1.0 −1.0
14 0.5 1.0 −1.0 −0.5 −2.0 −1.0 −1.5 0.0 1.5 1.5
15 1.0 0.0 1.5 1.5 1.0 −1.0 0.0 1.0 −2.0 −1.5
  1. Calcula la posición de la línea central y de los límites de control del gráfico \(\bar{x}\).
  2. Realiza la misma tarea con el gráfico R.
  3. Repetir los apartados anteriors para un gráfico \(\bar{x}\) y s. (prob. 6.5, Montgomery (2009))
a.

En primer lugar calcularemos las medias de cada una de las muestras y los recorridos:

Row x̄ R
1 0.5 4.0
2 0.45 2.5
3 -0.1 3.0
4 -0.6 3.5
5 0.0 1.5
6 0.0 3.0
7 0.05 2.5
8 -0.15 3.0
9 0.2 3.5
10 -0.15 5.0
11 0.3 3.5
12 0.0 4.0
13 -0.55 2.0
14 -0.15 3.5
15 0.15 3.5

Lo que supone que la posición de la línea central es: \(\bar{\bar{x}}\) = -0.00333.

El recorrido medio es: \(R\) = 3.2.

Como se trata de muestras de \(n=10\), el coeficiente \(A_2 = 0.308\). Lo que significa que los límites de control son:

\(LIC = \bar{\bar{x}} - A_2 \bar{R} =\) -0.989

\(LSC = \bar{\bar{x}} + A_2 \bar{R} =\) 0.982

El gráfico de control es:

b.

Para el gráfico R y \(n=10\), tenemos que \(D_3 = 0.223\) y \(D_4 = 1.777\). Lo que significa que la posición de la línea central y de los límites de control es:

\(LC=\bar{R}=\) 3.2

\(LIC=D_3 \bar{R}=\) 0.714

\(LSC=D_4 \bar{R}=\) 5.69

El gráfico de control queda así:

Problema 2

Un grupo de mantenimiento desea mejorar la efectividad de su trabajo. Con ese objetivo decide monitorizar el número de peticiones de mantenimiento que requieren una segunda visita para completar la reparación. Se recogen datos durante 20 semanas y se obtienen los siguientes resultados:

Semana Peticiones totales Segunda visita necesaria
1 200 6
2 250 8
3 250 9
4 250 7
5 200 3
6 200 4
7 150 2
8 150 1
9 150 0
10 150 2
11 100 1
12 100 0
13 100 1
14 200 4
15 200 5
16 200 3
17 200 10
18 200 4
19 250 7
20 250 6

Seleccionar el gráfico de control adecuado, calcular los límites de control y representar la gráfica. (prob. 7.21, Montgomery (2009))

El gráfico a utilizar será un p ya que se trata de unidades no conformes y el tamaño de muestra es variable.

El tamaño de muestra medio es \(\bar{n} =\) 187.5.

El cálculo de la fracción de unidades no conformes media es:

\(LC = \bar{p} = \frac{\sum d_i}{\sum n_i} =\) 0.0221

Los límites de control son:

\(LCS = \bar{p}+\sqrt{\frac{\bar{p}(1-\bar{p})}{\bar{n}}} =\) 0.0329

\(LIC = \bar{p}-\sqrt{\frac{\bar{p}(1-\bar{p})}{\bar{n}}} =\) 0.0329

El gráfico de control queda así:

En este caso, se comprueba que tenemos una variación de tamaño de muestra elevada, por lo que sería más conveniente calcular los límites de control para cada punto, en función del tamaño de muestra utilizado.

Problema 3

Uno de los puestos de comida más populares de los parques del Ratón Miguelito en Estados Unidos son los de churros. Se trata de churros de tamaño muy uniforme y rectilíneos, como los que se pueden ver en la foto.

Churros en el parque.

Empiezas tu trabajo como responsable de calidad de la empresa suministradora de los churros congelados precocinados a la empresa propietaria del parque. Se han recibido quejas por parte del cliente en las que asegura que la longitud de los churros es excesivamente variable. Investigas el problema y te das cuenta de que hay un problema con la formadora de los churros, se desajusta y eso provoca que el caudal de masa sea excesivamente variable, lo que provoca que los churros tengan tamaño variable ya que la cortadora trabaja con un ritmo constante.

Para solucionar el problema decides utilizar el control estadístico de procesos. Cada 30 minutos la persona a cargo de la línea tomará 3 churros a la salida de la moldeadora y medirá su longitud, lo que permitirá conocer si la formadora está funcionando correctamente y, en caso necesario, realizar los ajustes necesarios para lograr la longitud deseada de 32 cm.

Durante los primeros días se tomaron datos para poder calcular los límites de control:

Tiempo (min) L1(cm) L2 (cm) L3 (cm)
0 27.3 30.5 30.8
30 31.0 33.0 31.0
60 32.8 31.2 32.3
90 30.0 32.8 33.3
120 32.8 34.8 32.7
150 29.3 30.3 32.3

Contestar las siguientes preguntas:

  1. Seleccionar de manera justificada el tipo de gráfico a utilizar.
  2. Calcular la posición de la línea central y líneas de control.
  3. En un cierto momento, cuando ya está implantado el sistema de control estadístico de procesos, se obtiene una muestra con estas longitudes de churros: 27.9 cm, 30.7 cm y 27.6 cm. ¿Está el proceso controlado en este instante?
  4. Para evitar problemas en el futuro, decides que hay que fijar unos límites de especificaciones en función de los límites de control calculados en a). Planteas utilizar una RCP de 1.3. ¿Qué valor tomarán estos límites de especificaciones? ¿Serán unilaterales o bilaterales? ¿Se ajustarán a las exigencias del cliente?

a.

En este caso el cliente se está quejando de que existe una variabilidad demasiado elevada, por lo que nuestro objetivo será reducirla. Como vamos a verificar la uniformidad, el gráfico a utilizar será un R.

b.

En primer lugar calcularemos os recorridos para cada muestra:

t (min) L₁ (cm) L₂ (cm) L₃ (cm) R (cm)
0.0 27.3 30.5 30.8 3.5
30.0 31.0 33.0 31.0 2.0
60.0 32.8 31.2 32.3 1.6
90.0 30.0 32.8 33.3 3.3
120.0 32.8 34.8 32.7 2.1
150.0 29.3 30.3 32.3 3.0

Lo que supone que \(\bar{R}\) es 2.6 cm, que es la posición de la línea central.

Como el tamaño de muestra es 3, \(D_3=0\) y \(D_4=2.574\). Lo que significa que los límites de control serán:

\(LIC = B_{3} \cdot Rbar = 0.0\)

\(LSC = B_{4} \cdot Rbar = 6.6494999999999935\)

Aunque el enunciado del problema no lo pide, vamos a dibujar el gráfico de control:

c.

La muestra a considerar tiene los siguientes valores de longitud: 27.9 cm, 30.7 cm y 27.6 cm. Lo que significa que el recorrido es 3.1 cm, como ese valor está entre los dos límites de control, el proceso está controlado.

d.

El cliente se está quejando de que la variación de longitudes es demasiado elevada, por lo que consideraremos un límite superior de especificaciones.

Sabemos que: \[RCP=\frac{LSE-\mu}{3\sigma} = \frac{LSE-LC}{LSC-LC}\]

donde \(LC\) es la posición de la línea central y \(LSC\) es el límite superior de control (\(LSC=LC+3\sigma\)). Por lo tanto:

\(LSE = RCP \cdot \left( LSC - LC \right) + LC = 7.9\)

Una variación máxima de casi 8 cm parece un valor excesivamente elevado para un churro de 32 cm, supone una variación de 32±4 cm. Es fácil pensar que el cliente no estará de acuerdo con estas especificaciones ya que no se ajustarán a sus exigencias.

Problema 4.

Una empresa embotelladora de agua mineral produce sus propias botellas de plástico mediante inyección de plástico. Con objeto de seguir la producción se cuentan cuantas botellas no se moldean correctamente en cada turno. Para determinar los límites de control se obtuvieron los siguientes datos tras una semana de producción:

Turno Producción No conformes
1 6146 115
2 6182 97
3 6079 97
4 6089 103
5 6135 114
6 5848 118
7 6163 110
  1. Seleccionar de manera justificada el gráfico de control a utilizar.
  2. Calcular la posición de la línea central, límites de control.
  3. Dibujar e interpretar el gráfico de control con estos datos, obtenidos posteriormente:
Turno Producción No conformes
56 6560 119
57 6220 178
58 6486 100

a.

En este caso se trata de un atributo, unidades no conformes y tamaño de muestra variable, por lo que se utilizará un gráfico p.

b.

En primer lugar calcularemos los valores de \(p\):

Turno n d p
1.0 6146.0 115.0 0.0187114
2.0 6182.0 97.0 0.0156907
3.0 6079.0 97.0 0.0159566
4.0 6089.0 103.0 0.0169157
5.0 6135.0 114.0 0.0185819
6.0 5848.0 118.0 0.0201778
7.0 6163.0 110.0 0.0178485

En segundo lugar calculamos la posición de la línea central, \(\bar{p}\), y el tamaño de muestra medio, \(\bar{n}\):

\(LC = \textnormal{\={p}} = \frac{\sum d}{\sum n} = 0.018\)

\(\textnormal{\={n}} = \mathrm{mean}\left( n \right) = 6091.714285714285\)

Los límites de control serán:

\(LIC = \textnormal{\={p}} + 3.0 \cdot \sqrt{\frac{\textnormal{\={p}} \cdot \left( 1.0 - \textnormal{\={p}} \right)}{\textnormal{\={n}}}} = 0.023\)

\(LSC = \textnormal{\={p}} - 3.0 \cdot \sqrt{\frac{\textnormal{\={p}} \cdot \left( 1.0 - \textnormal{\={p}} \right)}{\textnormal{\={n}}}} = 0.013\)

c.

Comprobamos que el turno 57 está fuera de control.

Problema 5

En una línea de producción de medidores de pH se cuenta el número de defectos encontrados en 800 unidades durante un cierto periodo de operación. Se encuentran los siguientes datos:

Periodo Nº de defectos
1 70
2 64
3 81
4 105
5 40
6 62
7 53
8 48
9 82
10 90
11 110
12 54
13 88
14 40
15 21
16 56
17 91
18 70
19 65
20 50
21 28
22 24
23 60
24 75
25 25

Contestar las siguientes pregunta:

  1. Dibujar la gráfica de control. Asumir que los puntros fuera de los límites de control preliminares tienen causas conocidas.
  2. Tras la obtención de los límites de control, aplicarlos para los datos obtenidos en los periodos siguientes. Representar el gráfico de control e indicar qué puntos están fuera de los límites de control. ¿Sería recomendable revisar la gráfica de control?
Periodo Nº de defectos
26 35
27 14
28 21
29 33
30 40
31 63
32 62
33 55
34 65
35 70
36 45
37 38
38 38
39 49
40 37
41 51
42 54
43 45
44 33
45 41
46 57
47 50
48 63
49 48
50 49

(Adaptado de Acheson J. Duncan (1959))

a.

El gráfico de control en este caso es un gráfico c, ya que el parámetro de calidad es un atributo, número de defectos y el tamaño de muestra es constante. El número de defectos de la tabla es c.

El cálculo de los límites de control es:

\(LC = \textnormal{\={c}} = \frac{\sum c}{25} = 62.08\)

\(LCS = \textnormal{\={c}} + 3.0 \cdot \sqrt{\textnormal{\={c}}} = 85.7\)

\(LCI = \textnormal{\={c}} - 3.0 \cdot \sqrt{\textnormal{\={c}}} = 38.4\)

A continuación representamos el gráfico de control:

b.

Representamos los nuevos datos con los límites de control que hemos calculado en a. Los puntos fuera de control se indican con círculos blancos de borde rojo:

A primera vista, parece que el número de defectos medio se ha reducido, por lo que podría ser necesario recalcular los límites de control con los nuevos datos o recoger nuevos con ese fin.

Referencias

Acheson J. Duncan. 1959. Quality Control and Industrial Statistics. Homewood, Illinois: Richad D. Irwin.
Montgomery, Douglas, C. 2009. Introduction to Statistical Quality Control, Sixth Edition. John Wiley & Sons.