Problemas Muestreo

Muestreo por atributos

Problema 1

En una empresa de elaboración de pasteles a escala industrial se reciben de un proveedor figuritas de azúcar para decorar las tartas. Estas figuritas deben cumplir un estándar de calidad para ser consideradas aceptables, se pueden dar casos en los que el moldeo o la pintura sean incorrectos y la pieza se declare como no conforme. Para asegurar la excelencia en las tartas elaboradas se plantea que se quiere tener una probabilidad de rechazo mínima de 0.10 para un nivel de calidad de un 0.4%. En el caso de que la fracción de unidades disconformes alcance un 6%, se desea rechazar al menos el 95% de los lotes. Contestar las siguientes preguntas:

1. Determinar el riesgo del comprador y del productor.
2. Seleccionar un plan de muestreo adecuado. Indicar el tamaño de muestra y el criterio de aceptación.
3. Si se toma una muestra y se encuentra una unidad no conforme, ¿se puede aceptar el lote?

Solución

1.

Nos encontramos que el enunciado nos proporciona las coordenadas de dos puntos, ponemos las probabilidades como probabilidades de aceptación y expresamos todos los valores como tanto por uno:

\[ \begin{align} A &= \begin{cases} p = 0.4\ \% = \frac{0.4}{100} = 0.004\\ P_r = 0.10 \implies P_a = 1-0.10 = 0.90\\ \end{cases}\\ B &= \begin{cases} p = 6\ \% = \frac{6}{100} = 0.06\\ P_r = 0.95 \implies P_a = 1-0.95 = 0.05\\ \end{cases} \end{align} \]

Representamos los puntos A y B para determinar los riesgos del productor y del comprador:

Es evidente que el punto A muestra la zona de aceptación marcada en verde, la zona de alta calidad, lo que indica que se trata del riesgo del productor. En cambio el punto B muestra la zona de rechazo en rojo, es el riesgo del comprador:

Respuesta

\[ \begin{align} \text{Riesgo del productor} &= \begin{cases} p_1 = 0.004\\ \alpha = 0.10 \end{cases}\\ \text{Riesgo del comprador} &= \begin{cases} p_2 = 0.06\\ \beta = 0.05\\ \end{cases} \end{align} \]

2.

Calculamos la razón operativa:

\[\begin{equation} R = \frac{p_{2}}{p_{1}} = 15.0 \end{equation}\]

Buscando en las tablas de los planes de muestreo de aceptación encontramos que el plan de muestreo con la R más cercana pero sin pasarse es el Plan 1S. El criterio de aceptación de este plan es Ac = 1 y Re = 2. Calculamos el tamaño de muestra a partir del valor \(n p_2 = 3.890\):

\[\begin{equation} n = \left\lceil \frac{3.89}{p_{2}}\right\rceil = 65.0 \end{equation}\]

Respuesta

• Plan 1S
• Criterio de aceptación: Ac = 1, Re = 2 (\(c=1\))
• Tamaño de muestra, \(n = 65\)

3.

Para esta muestra \(d=1\), como \(d \le \mathrm{Ac}=1\), el lote se acepta.

Respuesta

El lote se acepta.

Problema 2

Una empresa tiene un plan de muestreo 2S con un tamaño de muestra \(n\) de 260 unidades y un criterio de aceptación \(c\) de 2 unidades. El nivel de protección deseado es que con una fracción de unidades no conformes del 1 % se tenga una probabilidad de aceptación del 90 % y con una fracción de unidades disconformes del 0.05 la probabilidad de aceptación sea del 0.05. Contestar las siguientes preguntas:

1. Indicar el riesgo del comprador y del productor.
2. ¿Garantiza el plan de muestreo existente el nivel de protección deseado?
3. Determinar un plan de muestreo simple en función de los riesgos del productor y del comprador.

Solución

1.

En este caso el enunciado proporciona las coordenadas de dos puntos, ponemos las probabilidades como probabilidades de aceptación y expresamos todos los valores como tanto por uno:

\[ \begin{align} A &= \begin{cases} p = 1\ \% = \frac{1}{100} = 0.01\\ P_a = 0.90\\ \end{cases}\\ B &= \begin{cases} p = 0.05\\ P_a = 0.05\\ \end{cases} \end{align} \]

Representamos los puntos A y B para determinar los riesgos del productor y del comprador:

El punto A muestra la zona de aceptación, la zona de alta calidad, lo que indica que se trata del riesgo del productor. En cambio el punto B muestra la zona de rechazo, es el riesgo del comprador:

Respuesta

\[ \begin{align} \text{Riesgo del productor} &= \begin{cases} p_1 = 0.01\\ \alpha = 1-0.90 = 0.10 \end{cases}\\ \text{Riesgo del comprador} &= \begin{cases} p_2 = 0.05\\ \beta = 0.05\\ \end{cases} \end{align} \]

2.

Para evaluar el plan de muestreo deberemos comprobar los valores de fracción de unidades no conformes asociados a \(\alpha\) y \(\beta\). Podemos encontrar estos valores en la tabla de los planes de muestreo de aceptación.

Para una probabilidad de aceptación \(P_a = 1 - \alpha = 0.90\), encontramos que \(n p = 1.102\), como \(n = 260\), podemos encontrar el valor de \(p_1\) que ofrece el plan de muestreo, para distinguirlo añadiremos una prima \(p_1'\):

\[\begin{equation} p\prime_{1} = \frac{1.103}{n} = 0.0042 \end{equation}\]

Vemos que el plan de muestreo tiene asociado un nivel de calidad aceptable (\(p_1'\)) menor que el que tenemos asociado al riesgo del producto (\(p_1=0.01\)). Esto significa que el plan de muestreo utilizado es más exigente (0.0042 frente a 0.01), lo que supone que estamos cumpliendo con el riesgo del productor.

Podemos hacer un cálculo equivalente para el riesgo del comprador. Encontramos que \(n p = 6.296\), lo que supone:

\[\begin{equation} p\prime_{2} = \frac{6.296}{n} = 0.024 \end{equation}\]

Nuevamente encontramos que el plan de muestreo ofrece la protección deseada. Mientras que nuestro riesgo del comprador tiene un valor de calidad límite de 0.05, el plan de muestreo lo tiene en un valor inferior (0.036).

Respuesta

El plan de muestreo utilizado garantiza el nivel de protección exigido.

3.

Calculamos la razón operativa:

\[\begin{equation} R = \frac{p_{2}}{p_{1}} = 5.0 \end{equation}\]

Buscando en las tablas de los planes de muestreo de aceptación encontramos que el plan de muestreo con la R más cercana pero sin pasarse es el Plan 3S. El criterio de aceptación de este plan es Ac = 3 y Re = 4. Calculamos el tamaño de muestra a partir del valor \(n p_2 = 6.681\):

\[\begin{equation} n = \left\lceil \frac{6.681}{p_{2}}\right\rceil = 134.0 \end{equation}\]

Respuesta

• Plan 3S
• Criterio de aceptación: Ac = 3, Re = 4 (\(c=3\))
• Tamaño de muestra, \(n = 134\)

Problema 3

Se plantea un plan de muestreo simple por atributos para una \(p\) de 0.01 y una probabilidad de aceptación de un 0.97. Si la \(p\) es de 0.08, se desea una probabilidad de aceptación de 0.03. Contestar a las siguientes preguntas:

1. ¿Cuáles son el riesgo del productor y del comprador?
2. Seleccionar un plan de muestreo simple por atributos.
3. ¿Qué fracción de unidades no conformes nos daría una probabilidad de aceptación de 0.5?

Solución

1.

Respuesta

\[ \begin{align} \text{Riesgo del productor} &= \begin{cases} p_1 = 0.01\\ \alpha = 1-0.97 = 0.03 \end{cases}\\ \text{Riesgo del comprador} &= \begin{cases} p_2 = 0.08\\ \beta = 0.03\\ \end{cases} \end{align} \]

2.

Calculamos la razón operativa para encontrar el plan de muestreo:

\[\begin{equation} R = \frac{p_{2}}{p_{1}} = 8.0 \end{equation}\]

El plan con la R más cercana sin pasarse es el plan 2S. Encontramos el tamaño de muestra:

\[\begin{equation} n = \left\lceil \frac{5.322}{p_{2}}\right\rceil = 67.0 \end{equation}\]

Respuesta

• Plan 2S
• Criterio de aceptación: Ac = 2, Re = 3 (\(c=2\))
• Tamaño de muestra, \(n = 67\)

3.

En la tabla con los planes de muestreo de atributos encontramos que para una probabilidad de aceptación de 0.50, la fracción de unidades disconformes es \(n p = 2.674\). Por tanto:

\[\begin{equation} p = \frac{2.674}{n} = 0.04 \end{equation}\]

Respuesta

\(p = 0.040\)

Muestreo por variables

Problema 4

Una empresa de elaboración de mostaza establece que su mostaza debe tener una viscosidad mínima de 35 mPa·s a 25 °C. La mostaza se envasa en botes de vidrio de 100 g. Se requiere establecer un plan de muestreo para autorizar la distribución del producto al comprador. Se desea rechazar el 90 % de los lotes si la fracción de unidades no conformes es del 2 %. Como objetivo de calidad se busca aceptar un 95 % de los lotes con un nivel de calidad de un 0.2 %. La desviación estándar histórica de este parámetro de calidad es 2.5 mPa·s. Contestar a las siguientes preguntas:

1. Dar los valores de las coordenadas de los puntos del riesgo del productor y del comprador.
2. Especificar el tamaño de muestra y criterio de aceptación.
3. Se realiza un muestreo y se obtiene una viscosidad media de 36.2 mPa·s. ¿Se debe aceptar el lote?

Solución

1.

En este caso el enunciado proporciona las coordenadas de dos puntos, ponemos las probabilidades como probabilidades de aceptación y expresamos todos los valores como tanto por uno:

\[ \begin{align} A &= \begin{cases} p = 2\ \% = \frac{2}{100} = 0.02\\ P_r = 0.90 \implies P_a = 1-0.90 = 0.10\\ \end{cases}\\ B &= \begin{cases} p = 0.2\ \% = \frac{2}{100} = 0.002\\ P_a = 0.95\\ \end{cases} \end{align} \]

Representamos los puntos A y B para determinar los riesgos del productor y del comprador:

El punto A muestra la zona de aceptación, la zona de alta calidad, lo que indica que se trata del riesgo del productor. En cambio el punto B muestra la zona de rechazo, es el riesgo del comprador:

Respuesta

\[ \begin{align} \text{Riesgo del productor} &= \begin{cases} p_1 = 0.002\\ \alpha = 0.05 \end{cases}\\ \text{Riesgo del comprador} &= \begin{cases} p_2 = 0.02\\ \beta = 0.10\\ \end{cases} \end{align} \]

2.

Este problema se puede resolver de dos maneras: a partir de las fórmulas y a partir del ábaco.

Podemos calcular los siguientes valores de la función de distribución normal estándar inversa para los valores de los parámetros de los riesgos del productor y del comprador:

\[\begin{equation} z\left( p_{1} \right) = 2.88 \end{equation}\]

\[\begin{equation} z\left( \alpha \right) = 1.64 \end{equation}\]

\[\begin{equation} z\left( p_{2} \right) = 2.05 \end{equation}\]

\[\begin{equation} z\left( \beta \right) = 1.28 \end{equation}\]

El criterio de aceptación es:

\[\begin{equation} k = \frac{z\left( p_{2} \right) \cdot z\left( \alpha \right) + z\left( p_{1} \right) \cdot z\left( \beta \right)}{z\left( \alpha \right) + z\left( \beta \right)} = 2.41 \end{equation}\]

El tamaño de muestra es:

\[\begin{equation} n = \left\lceil \left( \frac{z\left( \alpha \right) + z\left( \beta \right)}{z\left( p_{1} \right) - z\left( p_{2} \right)} \right)^{2}\right\rceil = 13.0 \end{equation}\]

Podemos comprobar que con el nomograma obtenemos prácticamente el mismo resultado:

Respuesta

\[\begin{align} k &= 2.4\\ n & = 13 \end{align}\]

3.

El resultado del muestreo es \(\bar{x} = 36.2\text{ mPa.s}\), el valor de la desviación estándar histórica es \(\sigma = 2.5\text{ mPa.s}\). Es estándar de ccalidad es un límite inferior de especificaciones \(LIE = 35\text{ mPa.s}\). Con esta información podemos calcular:

\[\begin{equation} Z_{LIE} = \frac{\textnormal{\={x}} - LIE}{\sigma} = 0.48 \end{equation}\]

Como \(Z_{LIE} < k\), se rechaza el lote.

Respuesta

Se rechaza el lote.

Problema 5

Un parámetro de calidad tiene un límite superior de especificaciones de 26. Se establecen unas probabilidades de aceptación de 0.07 y 0.90 para unas fracciones de disconformidades de 0.05 y 0.01 respectivamente. Contestar las siguientes preguntas:

1. ¿Cuáles son los riesgos del comprador y del productor?
2. Especificar un plan de muestreo adecuado considerando que no se conoce la \(\sigma\) histórica.
3. Se toma una muestra y se obtiene una media de 23 y una \(s\) de 1.3. ¿Se debe aceptar la muestra?

Solución

1.

Respuesta

\[ \begin{align} \text{Riesgo del productor} &= \begin{cases} p_1 = 0.01\\ \alpha = 1-0.90 = 0.10 \end{cases}\\ \text{Riesgo del comprador} &= \begin{cases} p_2 = 0.05\\ \beta = 0.07\\ \end{cases} \end{align} \]

2.

Nuevamente vamos a calcular el criterio de aceptación \(k\) y el tamaño de muestra \(n\) con las fórmulas:

\[\begin{align} k &= \frac{z_{p_2} z_\alpha+z_{p_1}z_\beta}{z_\alpha+z_\beta}\\ n &= \left\lceil \left(\frac{z_\alpha+z_\beta}{z_{p_1}-z_{p_2}} \right)^2 \left( 1+ \frac{k^2}{2} \right)\right\rceil \end{align}\]

y con el nomograma de Larson.

A partir de las fórmulas anteriores, el criterio de aceptación es:

\[\begin{equation} k = \frac{z\left( p_2 \right) \cdot z\left( \alpha \right) + z\left( p_1 \right) \cdot z\left( \beta \right)}{z\left( \alpha \right) + z\left( \beta \right)} = 2.01 \end{equation}\]

El tamaño de muestra es:

\[\begin{equation} n = \left\lceil \left( \frac{z\left( \alpha \right) + z\left( \beta \right)}{z\left( p_1 \right) - z\left( p_2 \right)} \right)^{2} \cdot \left( 1 + \frac{k^{2}}{2} \right)\right\rceil = 50.0 \end{equation}\]

Utilizando el ábaco de Larson obtenemos el mismo resultado:

Respuesta

\[\begin{align} k &= 2.0\\ n & = 50 \end{align}\]

3.

El resultado del muestreo es \(\bar{x} = 23\), el valor de la desviación estándar de la muestra es \(s = 1.3\). Es estándar de calidad es un límite superior de especificaciones \(LSE = 26\). Con esta información podemos calcular:

\[\begin{equation} Z_{LSE} = \frac{LSE - \textnormal{\={x}}}{s} = 2.31 \end{equation}\]

Como \(Z_{LSE} > k\), se acepta el lote.

Respuesta

Se acepta el lote.